Dadas as funções, determine

por Violeiro Seg 29 Ago 2011, 22:35

Dadas as funções $f\left ( x \right )=2x+1 \ \ e \ g\left ( x \right )=\frac{x+2}{3x-1}$ , determine:

a) $(f\circ g)^{-1}$

b) $g^{-1}\circ f^{-1}$

c) $f\circ g$

d) $f^{-1}\circ g^{-1}$

Desde já agradeço.

por rodrigomr Ter 30 Ago 2011, 13:46

tem o gabarito?

por **arimateiab** Ter 30 Ago 2011, 17:51

F(x) = 2x+1
G(x) = (x+2)/(3x-1)

F^-1 =>
x = 2y+1
y = (x-1)/(2)
[F(x)]^-1 = (x-1)/(2)

G^-1=>
x = (y+2)/(3y-1)
3yx-x = y+2
3yx-y=2+x
y(3x-1)=2+x
y = (2+x)/(3x-1)
[G(x)]^-1 = (2+x)/(3x-1)

c)
F(G(x)) = 2(x+2)/(3x-1) + 1
F(G(x)) = (2x + 4 +3x - 1)/(3x-1)
F(G(x)) = (5x + 3 )/(3x-1)

a)
F(G(x))^-1 =>
x = (5y+3)/(3y-1)
3xy - x = 5y+3
5y-3xy = 3+x
y(5-3x)=3+x
y = (3+x)/(5-3x)
F(G(x))^-1 = (3+x)/(5-3x)

b)
[G([F(x)^-1])^-1] = (2+[(x-1)/(2)])/(3[(x-1)/(2)]-1) = [(4+x-1)/(2)]/[(3x-1-2/2)] = [(3+x)/2]/[(3x-3)/2] =
(3+x)/(3x-3)
[G([F(x)]^-1)]^-1 = (3+x)/(3x-3)

faça a ultima

por Violeiro Seg 12 Set 2011, 16:51

Olá.

Obrigado arimateiab, por resolver, mas...
tem como vc ou outro amigo me ajudar, pq
não consegui entender...
Preciso que seja mais esclarecedor, pq fiquei mais
de 11 anos longe dos estudos e não estou conseguindo.

Desde já peço a compreensão de todos.

Abraços.

por **Euclides** Seg 12 Set 2011, 18:11

Olá Violeiro,

eu não gosto de trabalho braçal, mas conceitualmente:

$\\(f\;o\;g)^{-1}\text{ é a inversa (indicado pelo expoente -1) de }f\;o\;g\\f\;o\;g\text{ é o mesmo que }f(g(x))\text{ função composta.}$

$\\(f\;o\;g)^{-1}\text { sendo }f(x)=2x+1\;\;\;e\;\;\;g(x)=\frac{x+2}{3x-1}\\\\a)\;\;f\;o\;g=2\left ( \frac{x+2}{3x-1} \right )+1\leftarrow \text{substituição de g(x) no lugar de x em f(x)}\\\\\text{trabalha...trabalha...}\\\\f\;o\;g=\frac{2x+5}{3x+1}$

Agora é preciso calcular a inversa e isso é feito trocando-se x por y e isolando y

$\\y=\frac{2x+5}{3x+1}\;\;\to\;\;x=\frac{2y+5}{3y+1}\\\\x(3y+1)=2y+5\\3xy+x=2y+5\\x-5=2y-3xy\\x-5=y(2-3x)\\\\y=\frac{x-5}{2-3x}=\left (f\;o\;g \right )^{-1}$

por Violeiro Qua 14 Set 2011, 19:10

Olá Euclides.

Veja o que fiz, será que estou certo?
mas veja que essa é só a 1ª parte pra
resolver essa questão.

$f^-^1 \ o\ g^-^1$

Dadas as funções, determine 1

A partir daqui que estou com dúvidas de como resolver.

Abraços.

$f^-^1 \ o\ g^-^1= f^-^1\left ( g^-^1\left ( x \right ) \right )$

por **Euclides** Qua 14 Set 2011, 19:25

Até aí está tudo bem. Você calculou as duas inversas e obteve essas funções. Agora é fazer a composta (que vai dar trabalho braçal e requerer muita atenção e paciência para evitar erros).

$\\f^{-1}\left ( g^{-1} (x)\right )\to \text{na função }f^{-1}(x)=\frac{{\color{Red} x}-1}{2}\text{ você vai substituir }{\color{Red} x}\text{ por }g^{-1}(x)\\\\\text{ou seja, por }\frac{x+2}{3x-1}\;\;\;\;\;\to\;\;f^{-1}\left ( g^{-1} (x)\right )=\frac{{\color{Red} \left (\frac{x+2}{3x-1} \right )}-1}{2}$