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Circunferência e Triângulo Equilátero

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Circunferência e Triângulo Equilátero

Mensagem por jojo em Sab Ago 20 2011, 22:23

Usando a geometria analítica:

Uma circunferência L está inscrita em um triângulo equilátero de lado [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]. Mostre que, para todo ponto de L , a soma dos quadrados de suas distâncias aos três vértices do triângulo é constante.

jojo
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Re: Circunferência e Triângulo Equilátero

Mensagem por Elcioschin em Dom Ago 21 2011, 17:13

Altura do triângulo ---> h = a*cos30º ----> h = 2*\/3)*(\/3/2) ----> h = 3

Raio da circunferência inscrita ----> 2R*cos30º = a ----> 2*R*(\/3/2) = 2*\/3 ----> R = 1

Seja sistema xOy com origem no centro da circunferência: A(0, 2), B(-\/3, -1), C(\/3, -1), P(xP, yP)

Equação da circunferência ----> x² + y² = 1 ----> y = \/(1 - x²) ----> I

Distãncia de P à base BC ----> d1 = yP + 1 ----> II

Equação da reta suporte de AB ---> y - 2 = \/3*(x - 0) ----> \/3*x - y + 2

Equação da reta suporte de AC ---> y - 2 = -\/3*(x - 0) ----> -\/3*x - y + 2

Distância de P(xP, yP) à reta AB ----> d2 = |\/3*xP - 1*yP + 2|\/[(\/3)² + (-1)²] ---->

d2 = |\/3*xP - yP + 2|/2

Faça de modo similar para d3 (distância de P a AC)

Tendo d1, d2 e d3 e a equação I, calcule d1² + d2² + d3²

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