Qual é o valor de k?

por Luís Ter 16 Ago 2011, 14:39

(Osec-SP) Qual o valor de k para que a função quadrática f(x) = x² - 2x + k tenha o valor mínimo 1?

R = 2

O que significa "ter o valor mínimo"?

por **Jose Carlos** Ter 16 Ago 2011, 15:08

Temos:

f(x) = x² - 2x + k

A representação de f(x) no plano coordenado xOy é uma parábola que no nosso caso tem a concavidade voltada para cima tendo assim um ponto onde o valor da função será mínimo.

Tal valor de x será aquele cuja ordenada será o vértice da função:

xV = - ( b/2a )

sendo b = - 2 e a = 1 vem:

xV = 2/2 = 1

substituindo temos:

1² - 2*1 + k = 1 -> k = 2.

por **Euclides** Ter 16 Ago 2011, 15:11

As funções do segundo grau descrevem curvas que são chamadas "parábolas". As parábolas cujas diretrizes são paralelas ao eixo $x$ são tipicamente:

Qual é o valor de k? Traki

O sentido da concavidade é dado pelo sinal do coeficiente de $x^2$

$\\ax^2+bx+c=0\;\;\;\;a>0\Rightarrow \text{concavidade para cima}\\ax^2+bx+c=0\;\;\;\;a<0\Rightarrow \text{concavidade para baixo}$

Os pontos de inflexão onde a parábola assume seu valor mínimo ou máximo são dados por

$\\ax^2+bx+c=0\\\\x_{max/min}=-\frac{b}{2a}$

sendo:

$\\f(x)=x^2-2x+k\\\\x_{min}=-\frac{-2}{2}=1\;\;\;\to\;\;f(1)=1\;\;\Rightarrow \;\;1=1^2-2(1)+k\;\;\;\to\;\;k=2$

por Crises Ter 16 Ago 2011, 15:31

Este x max|min = -b/2.a é uma fórmula? não muda nunca?

por Crises Ter 16 Ago 2011, 15:34

ah, relação de girrad, saquei

por Luís Ter 16 Ago 2011, 18:56

Valeu mesmo, pessoal! Show!!!

por martinfierro76 Sáb 04 Jan 2014, 15:34

Porém, se falam de valor mínimo, o correito não é pensar em na ordenada?

$Qual é o valor de k? Gif.latex?y%3D%5Cfrac%7B2%5E%7B2%7D-4.1.k%7D%7B4$

$Qual é o valor de k? Gif.latex?%5Cfrac%7B2%5E%7B2%7D-4.1.k%7D%7B4$

$Qual é o valor de k? Gif.latex?4-4.1$

$Qual é o valor de k? Gif$

por georges123 Sáb 04 Jan 2014, 15:49

A função está na variável X, portanto o y não importa.

por **Medeiros** Sáb 04 Jan 2014, 19:47

Crises escreveu:Este x max|min = -b/2.a é uma fórmula? não muda nunca?

Esse x_max/min citado pelo Euclides quer dizer: o valor de x quando a função f(x) está no seu valor máximo OU no seu valor mínimo. Ele escreveu assim para indicar que pode ser usado para os dois casos.

Sim, é uma fórmula e não muda nunca. E essa fórmula vem de:
$\\ y=ax^2+bx+c \\ \text{as raizes (quando a funçao é zero são dadas por)}\\ x_{1,2}=\frac{{\color{Magenta} -b}\pm\sqrt{b^2-4ac}}{{\color{Magenta} 2a}}$

Note que uma parábola (tal qual desenhado pelo Euclides) tem um eixo de simetria paralelo ao eixo dos y (eixo das ordenadas). Esse eixo passa pelo vértice da parábola e, também, passa exatamente no meio das raízes (quando as há).

Se, na fórmula das raízes, você fizer
(x₁ + x₂)/2
irá achar o valor de x_V=-b/(2a).