A imagem da função
3 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
A imagem da função
Sendo f : R – {0} -> R, podemos afirmar corretamente que a imagem de f(x)=x+ 1/x é o conjunto
A) (-∞, -2] U [2, +∞).
B) (-∞, -1) U (1, +∞).
C) (-∞, 0) U (0, +∞).
D) (-∞, -2) U (1, +∞).
A) (-∞, -2] U [2, +∞).
B) (-∞, -1) U (1, +∞).
C) (-∞, 0) U (0, +∞).
D) (-∞, -2) U (1, +∞).
GILSON TELES ROCHA- Mestre Jedi
- Mensagens : 556
Data de inscrição : 21/12/2010
Idade : 47
Localização : MORRINHOS,CEARÁ-BRASIL
Re: A imagem da função
Eu escrevi toda a solução em látex, mas cliquei no botão errado e sumiu tudo
Basicamente você vai fazer o seguinte:
y=x+ 1/x
1)isolar o x em função de y e encontrar uma equação do segundo grau
2) o delta da equação será sqrt(y²-4)
3) basta dizer que y²-4≥0
4) resolver a inequação e analisar os intervalos
Basicamente você vai fazer o seguinte:
y=x+ 1/x
1)isolar o x em função de y e encontrar uma equação do segundo grau
2) o delta da equação será sqrt(y²-4)
3) basta dizer que y²-4≥0
4) resolver a inequação e analisar os intervalos
marcosprb- Mestre Jedi
- Mensagens : 825
Data de inscrição : 08/05/2017
Re: A imagem da função
Demonstrando o que o colega marcosprb explicou
Para x = - 1 ---> f(-1) = -2
Para x = 1 ---> f(1) = 2
Para -1 < x < 0, por exemplo x = - 1/2 ---> f(-1/2) = - 3
Para 0 < x < 1, por exemplo x = 1/2 ---> f(1/2) = 3
Para x < - 1, por exemplo x = - 2 ---> f(-2) = - 5/2
Para x > 1, por exemplo x = 2 ---> f(22) = 5/2
Imagem: A) (-∞, -2] U [2, +∞).
y = x + 1/x ---> y = (x² + 1)/x ---> y.x = x² + 1 ---> x² - y.x + 1 = 0
∆ = (-y)² - 4.1.1 ---> ∆ = y² - 4 --> Para ser real: y² - 4 ≥ 0 --->
y ≤ -2 e y ≥ 2
Para x = - 1 ---> f(-1) = -2
Para x = 1 ---> f(1) = 2
Para -1 < x < 0, por exemplo x = - 1/2 ---> f(-1/2) = - 3
Para 0 < x < 1, por exemplo x = 1/2 ---> f(1/2) = 3
Para x < - 1, por exemplo x = - 2 ---> f(-2) = - 5/2
Para x > 1, por exemplo x = 2 ---> f(22) = 5/2
Imagem: A) (-∞, -2] U [2, +∞).
y = x + 1/x ---> y = (x² + 1)/x ---> y.x = x² + 1 ---> x² - y.x + 1 = 0
∆ = (-y)² - 4.1.1 ---> ∆ = y² - 4 --> Para ser real: y² - 4 ≥ 0 --->
y ≤ -2 e y ≥ 2
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: A imagem da função
Essa solução testando valores é muito eficiente, sobretudo em questões objetivas em que o tempo é ouro!Elcioschin escreveu:Demonstrando o que o colega marcosprb explicou
Para x = - 1 ---> f(-1) = -2
Para x = 1 ---> f(1) = 2
Para -1 < x < 0, por exemplo x = - 1/2 ---> f(-1/2) = - 3
Para 0 < x < 1, por exemplo x = 1/2 ---> f(1/2) = 3
Para x < - 1, por exemplo x = - 2 ---> f(-2) = - 5/2
Para x > 1, por exemplo x = 2 ---> f(22) = 5/2
Imagem: A) (-∞, -2] U [2, +∞).
y = x + 1/x ---> y = (x² + 1)/x ---> y.x = x² + 1 ---> x² - y.x + 1 = 0
∆ = (-y)² - 4.1.1 ---> ∆ = y² - 4 --> Para ser real: y² - 4 ≥ 0 --->
y ≤ -2 e y ≥ 2
Apenos deixo uma observação e peço que o senhor me diga se está correta. Isolar o x em função do y é o mesmo que encontrar a função inversa (embora na função inversa a gente faça a troca das variáveis), e com isso, deve-se analisar as restrições de y para que x exista. O conjunto encontrado no qual y existe é equivalente tanto a imagem da função ''original'' quanto ao domínio da função inversa.
marcosprb- Mestre Jedi
- Mensagens : 825
Data de inscrição : 08/05/2017
Re: A imagem da função
Sim, sua solução está correta.
Sugiro consultar o gráfico da função no Wolfram: pode-se ver facilmente que x = - 1 e x = 1 são pontos de máximo e mínimo locais da função.
y = x + 1/x ---> Derivando: y' = 1 - 1/x²
Para y' = 0 ---> 1 - 1/x² = 0 ---> x = -1 é máximo local e x = 1 é mínimo local (pode ser provado com a derivada segunda y"): ymáx = -2 e ymín = 2
Sugiro consultar o gráfico da função no Wolfram: pode-se ver facilmente que x = - 1 e x = 1 são pontos de máximo e mínimo locais da função.
y = x + 1/x ---> Derivando: y' = 1 - 1/x²
Para y' = 0 ---> 1 - 1/x² = 0 ---> x = -1 é máximo local e x = 1 é mínimo local (pode ser provado com a derivada segunda y"): ymáx = -2 e ymín = 2
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
|
|