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Cálculo 2 - Integrias duplas

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Cálculo 2 - Integrias duplas Empty Cálculo 2 - Integrias duplas

Mensagem por SpeedXFX Qui 28 Nov 2019, 23:51

Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 25 - Pág.: 900)

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do cone Cálculo 2 - Integrias duplas Mimetex_ e abaixo da esfera x²+y²+z²=1.


Cálculo 2 - Integrias duplas Gif

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Cálculo 2 - Integrias duplas Empty Re: Cálculo 2 - Integrias duplas

Mensagem por LPavaNNN Qua 04 Dez 2019, 00:09

ELe pede para calcular o volume por integral dupla, ou seja " faltará" uma variável. Usando polares, temos r e theta, ou seja, x e y, a variável que falta é o z. Esse valor de z, pode depender ou não de r e theta, nesse caso, depende de r. 

A lógica dessa integral é: Somar todas alturas (h)do volume. 

a intersecção do cone com a esfera acontece num z=1/sqrt(2)


h=z_{esfera}-z_{cone}\\h=\sqrt{1-x^2-y^2}-\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1-r^2}-r\\V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt2}}h rdrd\theta\\V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt2}}(\sqrt{1-r^2}-r)rdrd\theta=2\pi\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt2}}(\sqrt{1-r^2}-r)rdr\\1-r^2=u\\-2rdr=du\\V=2\pi\int_{1}^{\frac{1}{2}}u^{\frac{1}{2}}\frac{-du}{2}+2\pi\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt2}}-r^2dr\\V=\frac{2\pi}{3}(-u^{\frac{3}{2}})_1^\frac{1}{2}-\frac{2\pi}{3}r^3)_0^\frac{1}{\sqrt2}=\frac{2\pi}{3}(1-\frac{1}{2\sqrt2}-\frac{1}{2\sqrt2})=\frac{2\pi}{3}(1-\frac{\sqrt2}{2})\\V=\frac{\pi}{3}(2-\sqrt2)

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