Condição de existência de raiz

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Resolvido Condição de existência de raiz

Mensagem por gabriely27183dnt em Sab 09 Nov 2019, 06:52

O índice de uma raiz sempre deve ser um número Natural não nulo? Suponha que em uma equação exponencial cuja incógnita esteja como índice de uma raiz, uma das possíveis soluções seja um número não inteiro, sendo assim, ele será ou não uma solução para a equação? Pois, se aplicarmos a propriedade de transformar uma raiz em um expoente fracionário, a nova raiz terá índice com número natural...

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Resolvido Re: Condição de existência de raiz

Mensagem por Elcioschin em Sab 09 Nov 2019, 10:53

É tudo uma questão de definição. 
Se for definido que o índice da raiz deve ser um número natural, isto deve ser obedecido.
Mas, do ponto de vista puramente matemático o índice poderia ser qualquer número real:

x = 35/π ---> Esta expressão representa um número real: x ~= 5,746 

x = 35/π = π(35)
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Resolvido Re: Condição de existência de raiz

Mensagem por gabriely27183dnt em Sab 09 Nov 2019, 14:46

Obrigada, mas por que alguns livros definem que o índice da raiz deve ser natural? Isso é confuso pois se num enunciado não tiver lícito, como saber se devo ou não considerar o índice não pertencente ao conjunto dos naturais?

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Resolvido Re: Condição de existência de raiz

Mensagem por Elcioschin em Sab 09 Nov 2019, 18:12

Não sei de que livros você fala.

Se o livro for do Ensino Fundamental, por exemplo, acho que definirá o índice como natural, assim como define somente a existência números reais.

Já no Ensino Médio, por exemplo, é aceita a existência de números complexos (z = a + b.i)

No Ensino Superior aprende-se, por exemplo, que ei.π = -1

Poste uma questão no qual esta dúvida tenha te atrapalhado.
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Resolvido Re: Condição de existência de raiz

Mensagem por gabriely27183dnt em Dom 10 Nov 2019, 07:39

Eu vi isso no livro Fundamentos da Matemática Elementar, como na questão:
(raiz de 5^x-2)(raiz x de 25^2x-5)=(raiz 2x de 5^3x-2), se resolvê-la, encontrará x=3 ou x=-6, no entanto, o livro desconsidera x=-6 pois diz que x deve ser positivo...

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Resolvido Re: Condição de existência de raiz

Mensagem por Ashitaka em Dom 10 Nov 2019, 11:37

É bem verdade que nunca vi uma definição de índice de raíz que não fosse um natural não nulo. Geralmente, é o que se usa mesmo e é o que deve ser considerado quando se usa o símbolo do radical.

Todavia, ao se utilizar expoentes fracionários ao invés do símbolo de radical, o denominador da fração (que seria o índice da raiz) pode assumir qualquer valor real (até complexo, na verdade).

Essa definição de índice natural não impede que se encontre um igual a -6 e que ele satisfaça a equação quando escrito na forma fracionária; a equação continua sendo verdadeira. O que se faz é simplesmente descartar pois busca-se naturais não nulos quando se utiliza o símbolo de radical. Do contrário, utilizar-se-ia diretamente frações como expoentes.

É mais uma questão de notação / definição mesmo.
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Resolvido Re: Condição de existência de raiz

Mensagem por Elcioschin em Dom 10 Nov 2019, 12:35

Já que você postou a questão vamos resolvê-la para os demais usuários:

√{5(x-2)}.x√{25(2.x-5)} = 2.x{5(3.x-2)}

√{5(x-2)}.x√{(5²)(2.x-5)} = 2.x{5(3.x-2)}

√{5(x-2)}.x√{5(4.x-10)} = 2.x{5(3.x-2)}

{5(x-2)}1/2.{5(4.x-10)}1/x.{5(3.x-2)}1/2.x

{5(x-2)/2}.{5(4.x-10)/x} = 5(3.x-2)/2.x

5(x-2)/2 + (4.x-10)/x = 5(3.x-2)/2.x

5(x²+6.x-20)/2.x = 5(3.x-2)/2.x

x² + 6.x - 20 = 3.x - 2

x² + 3.x - 18 = 0 ---> x = - 6 e x = 3
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Resolvido Re: Condição de existência de raiz

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