PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Triângulo com lados e altura consecutivos

2 participantes

Ir para baixo

Triângulo com lados e altura consecutivos Empty Triângulo com lados e altura consecutivos

Mensagem por lookez Sex 08 Nov 2019, 07:10

Num triângulo acutângulo ABC, uma das alturas e os três lados são representados por números inteiros e consecutivos. Calcular a medida do menor lado de seu triângulo órtico.

a) 75/13 cm
b) 70/13 cm
c) 68/13 cm
d) 42/13 cm
e) 135/13 cm

Não entendi como encontrar a altura e os lados do triângulo,

Resolução:
Triângulo com lados e altura consecutivos 20191110
lookez
lookez
Recebeu o sabre de luz
Recebeu o sabre de luz

Mensagens : 140
Data de inscrição : 11/10/2018
Idade : 24
Localização : RJ, RJ, Brasil

Ir para o topo Ir para baixo

Triângulo com lados e altura consecutivos Empty Re: Triângulo com lados e altura consecutivos

Mensagem por AlvaroLSL Dom 19 Jul 2020, 12:58

Como uma das alturas e os três lados são representados por números inteiros e consecutivos, a sequência (h, l1, l2, l3) pode ser escrita na forma: (x - 2, x - 1, x, x + 1).
É sabido que a fórmula de Heron nos dá a área de um triângulo em função dos seu lados. Assim:

[latex]S(ABC) = \sqrt{\frac{(x-1+x+x+1)}{2}\frac{(x-1+x+x+1-2(x+1))}{2}\frac{(x-1+x+x+1-2(x))}{2}\frac{(x-1+x+x+1-2(x-1))}{2}}[/latex]
[latex]S(ABC) = \sqrt{\frac{(3x)(x-2)(x)(x+2)}{16}}[/latex]

A área de um triângulo também pode ser calculada por: 
[latex]S(ABC) = \frac{(base)(altura)}{2}[/latex]

Tem-se, então, três possibilidades (duas falsas e uma verdadeira):

  1. [latex]S(ABC) = \frac{(x-1)(x-2)}{2}[/latex]
  2. [latex]S(ABC) = \frac{(x)(x-2)}{2}[/latex]
  3. [latex]S(ABC) = \frac{(x+1)(x-2)}{2}[/latex]

Para poupar trabalho, usarei a segunda , já que as outras não darão frutos.
Desse modo:
[latex]\left\{\begin{matrix} S(ABC) = & \frac{(x)(x-2)}{2} \\ S(ABC) = & \sqrt{\frac{(3x)(x-2)(x)(x+2)}{16}} \end{matrix}\right.[/latex]

[latex]\Leftrightarrow \frac{(x)(x-2)}{2} = \sqrt{\frac{(3x)(x-2)(x)(x+2)}{16}}[/latex]
[latex]\Rightarrow \frac{(x)^2(x-2)^2}{4} = \frac{(3x)(x-2)(x)(x+2)}{16}[/latex]
[latex]\Rightarrow 4(x)^2(x-2)^2 - (3x)(x-2)(x)(x+2) = 0[/latex]
[latex]\Rightarrow (x)^2(x-2)[4(x-2) - 3(x+2)] = 0[/latex]
Logo: ou [latex] (x)^2(x-2) = 0 [/latex] (não convém, já que x e x-2 são lados do triângulo, logo, não nulos), ou [latex] \Rightarrow 4x - 8 - 3x - 6 = 0 [/latex].
[latex]\Rightarrow x=14[/latex]

Se x=14, a sequência (h, l1, l2, l3) é igual à sequência (12, 13, 14, 15).
AlvaroLSL
AlvaroLSL
Iniciante

Mensagens : 35
Data de inscrição : 18/11/2018
Idade : 22
Localização : Sergipe, Brasil.

Ir para o topo Ir para baixo

Ir para o topo

- Tópicos semelhantes

 
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos