Retas paralelas e triângulo equilátero

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Mensagem por lookez em Ter 05 Nov 2019, 07:34

As retas r, s e t são paralelas entre si e distam 1 cm, 4 cm e 5 cm entre si. Sobre cada uma delas tomam-se pontos A, B e C de maneira que o triângulo ABC seja equilátero. Quanto vale a área do triângulo ABC assim obtido?

Gabarito:
2√7

Gostaria de saber se o gabarito está errado ou se estou errando, encontrei 7√3
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Mensagem por Elcioschin em Ter 05 Nov 2019, 10:49

Eis uma figura para facilitar. Mostre o passo-a-passo da sua solução.

Retas paralelas e triângulo equilátero Tri_eq11
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Mensagem por lookez em Ter 05 Nov 2019, 11:40

Basicamente desloquei o lado AC paralelamente até estar sobre o vértice B. Sendo A' e C' os pontos desse novo segmento deslocado, forma-se o paralelogramo ACC'A', sua área será o dobro da área do triângulo equilátero ABC.

Para encontrar a área do paralelogramo tracei a altura BH do triângulo ABC. Seja P a interseção do lado AC com a reta s, usei pitágoras no triângulo retângulo BHP para encontrar BP, que é a base do paralelogramo, e a altura já temos que é 5. (temos BH que é a altura do triângulo equilátero e pode-se encontrar HP utilizando a proporção 1/4 dada, que se aplica no lado AC pelo teorema de tales)

Depois só igualei metade dessa área encontrada com a área do triângulo equilátero e encontrei o lado = 2√7, então a área do triângulo seria 7√3.

Métrica:
AB=AC=BC=5k
BH=5k√3/2
CH=AH=5k/2
PH=3k/2
AP=k
BP=AA'=CC'=k√21
Área(ABC) = Área(ACC'A')/2 --> 25k²√3/4 = 5k√21/2 --> 5k = 2√7
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Mensagem por Elcioschin em Ter 05 Nov 2019, 11:58

Enxergo uma solução rápida assim:

No triângulo retângulo à direita: L.cos(θ - 30°) = 5

No triângulo retângulo superior: L.sen(60º - θ) = 1

Basta resolver o sistema e calcular L ---> S(ABC) = L².3/4
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