Triângulo equilátero e circunferência

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Triângulo equilátero e circunferência Empty Triângulo equilátero e circunferência

Mensagem por analuguelere em Ter 22 Out 2019, 14:44

Quanto mede o lado deste triângulo equilátero com circunferências inscritas cujo raio vale 4cm? 
obs.: as circunferências tangentes entre si são iguais.

Triângulo equilátero e circunferência 8626d411

analuguelere
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Triângulo equilátero e circunferência Empty Re: Triângulo equilátero e circunferência

Mensagem por Rory Gilmore em Ter 22 Out 2019, 16:06

I) Sejam os pontos A, B, C, D, E e F como segue na imagem;
II) C e D são pontos de tangência, decorre que os ângulos C e D são retos e então AD // BC.
III) Seja BD a diagonal do quadrilátero ABCD, por conta de AD // BC, os ângulos ADB e CBD são congruentes (alternos internos) e então os triângulos ADB e CBD são congruentes (caso LAL), decorre então que os ângulos B e D são congruentes, e de maneira análoga para C = A, logo ABCD é retângulo e CD = 16.
IV) BEF e BCF são triângulos retângulos congruentes por cateto e hipotenusa, logo BFC = 30 graus e aplicando trigonometria no triângulo retângulo (e de maneira análoga chegaremos as mesmas conclusões para os outros lados e vértices):
tg 30 = 4/x
√3/3 = 4/x
√3.x = 12
x = 12/√3
x = 4√3 cm

Lado = 2x + 16
Lado = 8√3 + 16
Lado = 8.(√3 + 2) cm

Triângulo equilátero e circunferência 111111
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