Raiz dentro de raiz

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Raiz dentro de raiz Empty Raiz dentro de raiz

Mensagem por a.n.n em Sex 18 Out 2019, 19:18

Estava vendo uma resolução e tinha:

√(2+√3) = √((2+1)/2) + √((2-1)/2) = (√3 + 1)/√2 =
(√6 + √2)/2

Não entendi como fazer essa transformação Sad
Ps.: Desculpa por não fazer no Latex, estou pelo celular. Espero que de para entender.
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Raiz dentro de raiz Empty Re: Raiz dentro de raiz

Mensagem por Emanuel Dias em Sex 18 Out 2019, 20:51

Oi.


Note que:

\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{1+2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}


Usei o método de completar quadrados. Geralmente transformações deste tipo exige isso.
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Raiz dentro de raiz Empty Re: Raiz dentro de raiz

Mensagem por Elcioschin em Sex 18 Out 2019, 22:03

Leia a teoria sobre "Radical Duplo"

(A ± B) = ± √y ---> Elevando ao quadrado:

± B = (x + y) ± 2.√(x.y) ---> ± B = (x + y) ± √(4.x.y) 

Comparando termo a termo:

x + y = A ---> I

4.x.y = B ---> y = B/4.x ---> II

II em I ---> x + B/4.x = A ---> 4.x² - 4.A.x + B = 0 ---> Equação do 2º grau:

 = (-4.A)² - 4.4.B --->  = 16.A² - 16.B --->  = 16.(A² - B) --->  = 4.√(A² - B)

x = [4.A ± 4.√(A² - B)]/2.4 ---> x = [A ± √(A² - B)]/2

Para x =  [A + √(A² - B)]/2 ---> y =  [A - √(A² - B)]/2

Esta transformação só é interessante se A² - B for um quadrado perfeito.
Nesta questão A = 2 , B = 3  ---> A² - B = 2² - 3 ---> A² - B = 1 ---> Interessa

x = (2 + 1)/2 ---> X = 3/2 ---> x = 6/4 ---> √x = √6/2 
y = (2 - 1)/2 ----> y = 1/2 ---> x = 2/4 ---> √y = √2/2

√(2 + √3) = √6/2 + √2/2 = (√6 + √2)/2
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