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Mensagem por gabriel.ricci.oliveira.95 em Seg 14 Out 2019, 19:14

No quadrilátero plano ABCD, os ângulos Fuvest - Geometria Plana Showimage.php?formula=42aefb46b8197994c1870bc46e4795d9 são retos, AB AD 1, BC  CD = 2 e Fuvest - Geometria Plana Showimage.php?formula=45b8a0458f1943d2529a516062e30269 é uma diagonal. O cosseno do ângulo: BCD vale?




Obs: resoluções em outros sites colocam a diagonal dos angulos nao retos como sendo bissetriz deles. Qual a propriedade matematica permite isso em um quadrilatero qualquer ?

gabriel.ricci.oliveira.95
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Mensagem por Elcioschin em Seg 14 Out 2019, 20:21

Pitágoras

AC² = AB² + BC² ---> AC² = 1² + 2² ---> AC² = 5

AC² = AD² + CD² ---> AC² = 1² + 2² ---> AC² = 5

Os triângulo retângulos A^BC  e A^DC são idênticos
Logo AC é bissetriz do ângulo B^CD

cosB^CA = BC/AC ---> cos²B^CA = BC²/AC² ---> cos²B^CA = cos²D^CA = 4/5

B^CA = D^CA = B^CD/2 --->B^CD = 2.B^CA = 2.D^CA

cosB^CD = 2.cos²B^CA - 1 ---> cosB^CD = 2.(4/5) - 1 ----> cosB^CD = 3/5
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Mensagem por Rory Gilmore em Seg 14 Out 2019, 20:36

Outro modo:
I) Desenhe a outra diagonal AC que concorre com AD no ponto P.
II) Os triângulos retângulos ABC E ADC são congruentes pelo caso LAL.
III) Decorre que APD e APB são retângulos visto os ângulos decorrentes da congruência II e o triângulo isósceles ABD de base BD.
III) Os triângulos APD e ADC são semelhantes pelo caso AA.
IV) Seja y o segmento PD = PB
V) Calcule y pelo Teorema de Pitágoras e o cosseno do ângulo BCD pela lei dos cossenos.
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Mensagem por Rory Gilmore em Seg 14 Out 2019, 20:42

Outra coisa, a "propriedade" não vale para todos os quadriláteros, ela só tem validade para esse caso específico dos lados AB = AD, BC = CD e com os ângulos B e D sendo retos.
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