Lugar geométrico, triângulo com área constante

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Resolvido Lugar geométrico, triângulo com área constante

Mensagem por lookez em Qui 10 Out 2019, 13:29

Dados um sistema de eixos ortogonais xOy e um ponto A, de coordenadas (x₀, y₀) ≠ (0, 0), considere dois pontos variáveis P e Q, P pertencente ao eixo Ox e Q pertencente ao eixo Oy, tais que a área do triângulo APQ seja constante e igual a k, k ∈ ℝ. Calcule e identifique a equação do lugar geométrico do ponto médio do segmento PQ.

Gabarito:
2xy - 2x₀y - 2y₀x ± k = 0 (par de cônicas de gênero hipérbole)

Creio que uma boa ideia seja fazer a área do triângulo usando o determinante das coordenadas, mas não consegui resolver. Um esboço da situação:

Lugar geométrico, triângulo com área constante Lg10


Última edição por lookez em Qui 10 Out 2019, 23:15, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Lugar geométrico, triângulo com área constante

Mensagem por Elcioschin em Qui 10 Out 2019, 14:19

A (x₀, y₀) --->P(x, 0) ---> Q(0, y) ---> M(x/2, y/2) 

..... x₀ _ y₀ _ 1
 = .x _..0 -- 1  --->  = x.y - x₀.y - y₀.x 
.....-0 _.. y -- 1

k = /2 ---> x.y - x₀.y - y₀.x = 2.k

Calcule PQ
Calcule a equação da reta suporte de P e Q
Calcule a altura h do vértice A à base PQ (distância entre ponto e reta)

k = PQ.h/2

Tente completar
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Resolvido Re: Lugar geométrico, triângulo com área constante

Mensagem por lookez em Qui 10 Out 2019, 23:14

@Elcioschin escreveu:Calcule PQ
Calcule a equação da reta suporte de P e Q
Calcule a altura h do vértice A à base PQ (distância entre ponto e reta)

k = PQ.h/2

Tente completar
Esses passos me levam exatamente a mesma equação |xy - x₀y - y₀x| = 2k que foi tirada do delta (k na verdade é |∆|/2, faltou o módulo). E a resposta é isso mesmo, o gabarito está com coeficientes trocados, deveria ser xy - x₀y - y₀x ± 2k = 0. Obrigado mestre.
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Resolvido Re: Lugar geométrico, triângulo com área constante

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