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Combinação de números

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Emanoel Mendonça
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Resolvido Combinação de números

Mensagem por petras Sex 04 Out 2019, 20:05

O total de números formados com algarismos distintos maiores do que 10000 e menores do que 90000 e que não são divisíveis por 5 é? (Não tenho resposta)


Última edição por petras em Sáb 05 Out 2019, 12:04, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: Combinação de números

Mensagem por Emanoel Mendonça Sex 04 Out 2019, 23:11

Boa noite,

Tentei o seguinte:

Pra ser divisível por 5:

5.0 = 0
5.1 = 5
5.2 = 10
5.3 = 15

Critério de divisibilidade, o número precisa terminar com 0 ou 5.

1.8.7.6.8 = 2688 números

Primeira casa:    Vou fixar o 5 na primeira casa, pois esse é um possível caso que atende o enunciado.
quinta casa: não pode ser 0, logo 9-1=  8 opções.
segunda casa,8 opções
terceira casa: 7 opções
quarta casa: 6 opções

Agora outro caso; 

7.8.7.6.7 = 16464 número

Primeira casa: Não pode ser 0,9 e nem 5 que já fiz no caso anterior, logo temos 10-3 = 7 opções
quinta casa: não pode ser, 5 e nem 0, logo 9-2= 7
segunda casa, 10 -2 = 8
terceira: 10-3 = 7
quarta: 10-4 = 6

Total = 16464 + 2688 = 19152 números


Última edição por Emanoel Mendonça em Sáb 05 Out 2019, 01:36, editado 3 vez(es) (Motivo da edição : Correção.)
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Resolvido Re: Combinação de números

Mensagem por folettinhomed Sex 04 Out 2019, 23:23

Para ser menor que 90000 e maior que 10000, o algarismo não pode começar por 0 nem 9, o que resulta em 8 algarismos para usarmos
Para ser divisível por 5, o algarismo terá de terminar em 0 ou 5
Terminando por 0:
               0
_  _  _  _  _          possibilidades = 7.6.5.4.1 = 840 algarismos
7  6  5  4  1

Terminando por 5: Aqui, o número inicial não pode ser 5 nem 0, o que reduz em 1 unidade as possibilidades do primeiro algarismo
           5
_ _ _ _ _       N = 6.5.4.3.1 = 360 
6 5 4 3 1

Somando = 840 + 360 = 1200 algarismos, divergindo da solução que o colega apresentou acima.
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Resolvido Re: Combinação de números

Mensagem por Nickds12 Sáb 05 Out 2019, 00:20

90000 - 8*9*9*9*1*2 - 1 - 10000 = 68335 números que não são diviseis por 5 entre 10000 e 90000

O que é razoável já que 90000 é divisível por quase todos os números não primos por ser decomposto por 2, 3 e 5. E os números co-primos de 90000 (menos 4000 = φ(10000)) deu 20000 por função de euler. Considerando que a cada 10 números, aparece 2, 3 números primos (desconsiderando 2, 3 e 5) e números divisíveis por 5 aparecem de 2 em 2, é razoável um ser 11665 e outro 20000.

E ainda tem uma margem de erro já que 10000 é decomposto em 5, 2 enquanto 90000 tem o 3. Ou seja, era para ser um pouco menor que 20000.

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Resolvido Re: Combinação de números

Mensagem por Emanoel Mendonça Sáb 05 Out 2019, 01:28

folettinhomed escreveu:Para ser menor que 90000 e maior que 10000, o algarismo não pode começar por 0 nem 9, o que resulta em 8 algarismos para usarmos
Para ser divisível por 5, o algarismo terá de terminar em 0 ou 5
Terminando por 0:
               0
_  _  _  _  _          possibilidades = 7.6.5.4.1 = 840 algarismos
7  6  5  4  1

Terminando por 5: Aqui, o número inicial não pode ser 5 nem 0, o que reduz em 1 unidade as possibilidades do primeiro algarismo
           5
_ _ _ _ _       N = 6.5.4.3.1 = 360 
6 5 4 3 1

Somando = 840 + 360 = 1200 algarismos, divergindo da solução que o colega apresentou acima.
 A questão pede os números que não são divisíveis.
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Resolvido Re: Combinação de números

Mensagem por Emanoel Mendonça Sáb 05 Out 2019, 01:29

Nickds12 escreveu:90000 - 8*9*9*9*1*2 - 1 - 10000 = 68335 números que não são diviseis por 5 entre 10000 e 90000

O que é razoável já que 90000 é divisível por quase todos os números não primos por ser decomposto por 2, 3 e 5. E os números co-primos de 90000 (menos 4000 = φ(10000)) deu 20000 por função de euler. Considerando que a cada 10 números, aparece 2, 3 números primos (desconsiderando 2, 3 e 5) e números divisíveis por 5 aparecem de 2 em 2, é razoável um ser 11665 e outro 20000.

E ainda tem uma margem de erro já que 10000 é decomposto em 5, 2 enquanto 90000 tem o 3. Ou seja, era para ser um pouco menor que 20000.
Não entendi muito bem a sua solução.
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Resolvido Re: Combinação de números

Mensagem por Emanoel Mendonça Sáb 05 Out 2019, 01:34

Amigos, acabei de manjar um erro na minha solução, eu não considerei que o 5 pode estar na primeira casa, fazendo que as possibilidades para a última casa aumentem em um número já que o número 5, que é uma restrição já está sendo usado, dessa forma existem dois casos para analisar:

1)  Números iniciando com 5.
2) Números não iniciando com 5.

Fiz a correção na minha resposta.
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Resolvido Re: Combinação de números

Mensagem por Nickds12 Sáb 05 Out 2019, 12:28

Funciona assim: precisa terminar com 0 ou 5

89999
5 casas

Mas o primeiro algarismo - 8 opções (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 )
Segundo algarismo - 9 opções (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9)
Terceiro algarismo - 9 opções (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9)
Quarto algarismo - 9 opções (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9)
Quinto - 2 opções (0 ou 5)

8*9*9*9*2 = 11664 números com esse formato (ou seja, diviseis por 5)

Só pensar que tenho 90000-10000 = 80000 números.

De 80000 números, "pouquíssimos" são divisiveis por 5 em comparação aos que não são divisíveis. Porque de 10 números

0 1  2  3  4  5  6 7 8 9 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

10, 20, 15, 5 são divisíveis por 5

4/21 = 0.19 --- 19%

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Resolvido Re: Combinação de números

Mensagem por Elcioschin Sáb 05 Out 2019, 20:09

Na 1ª casa à esquerda são possíveis 8 números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

a) Terminando por 0 ---> _ _ _ _ 0
..................................._8 7 6 5

b) Terminando por 5 ---> _ _ _ _ 5
..................................._7 7 6 5

Na 1ª casa não pode ser 5 ---> Restam 7 possibilidades: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8
Na 2ª casa não pode ser 5 nem o algarismo da 1ª casa mas pode ser 0 ---> 7 possibilidades

Total de números: a1 = 1023, an = 9876 ---> falta calcular

Tentem completar
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Resolvido Re: Combinação de números

Mensagem por Vitor Ahcor Sáb 05 Out 2019, 20:53

Uma outra saída: 

O total de números formados com algarismos distintos maiores do que 10000 e menores do que 90000 é:

_ _ _ _ _ --> Basta que não comece com 0 ou 9

8*9*8*7*6 = 24192

Desses, alguns são divisíveis por cinco, calculemos:

i) Terminando com 0:

_ _ _ _ 0 --> Basta que o primeiro algarismo não seja o 9

8*8*7*6 = 2688

ii) Terminando com 5:

_ _ _ _ 5 --> Basta que o primeiro algarismo não seja o 9 nem o 0

7*8*7*6 = 2352

Daí, o total de números N formados com algarismos distintos maiores do que 10000 e menores do que 90000 e que não são divisíveis por 5 é :

N = 24192 - 2688 - 2352 = 19152.

Concordo com o colega Emanoel.

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