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Raio da circunferência

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Mensagem por NMS50 Qua 02 Out 2019, 13:04

Num triângulo ABC, AB = 5 cm, AC = 8 cm e  BÂC = 120°. Calcule o raio da circunferência que tem centro sobre o lado BC e é tangente aos outros lados do triângulo.
Gabarito: 20√3/13 cm.

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Mensagem por Elcioschin Qua 02 Out 2019, 14:26

Para ajudar (não está em escala):

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Mensagem por Medeiros Qui 03 Out 2019, 07:56

mais um pouco de ajuda (é muita conta) ...

Observe que o triângulo OMN é equilátero. Consequentemente o triângulo AMN é isósceles com 30° na base.
lei dos senos triâng AMN --> AM = AN = R.√3/3

BM = 5 - AM --->  BM
CN = 8 - AN  --->  CN

triângulos BMO e CNO são retângulos, por Pitágoras calcule BO e CO.
BO + CO = BC
e, pela lei dos cossenos indicada pelo Élcio, calcule BC (acho que dá √129 = √3.√43).
Portanto vc tem tudo em função de R --->  calcule R.
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Mensagem por NMS50 Dom 06 Out 2019, 00:35

Obrigada!

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Mensagem por Medeiros Dom 06 Out 2019, 16:41

NMS

não me conformei com aquele monte de conta (detesto algebrismo) e procurei uma solução mais fácil -- achei!!! e vou usar o desenho do Élcio.

Depois do cálculo de BC (conforme indicado pelo Élcio) e do cálculo de BM e CN (conforme indiquei anteriormente), vamos rotacionar o triângulo NOC em torno do ponto O até que o ponto N coincida com o ponto M. Ficamos com o triângulo BOC' que é semelhante ao triângulo BAC original. Note que C'O = CO.

Então basta calcular BC' e aplicar as semelhanças para obter BO e CO. Aí iguala BC = BO + CO. As contas ficam mais fáceis.

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