Peruanos (trigonometria)

Tan π/(2n + 1) Tan 2π/(2n + 1) Tan 3π/(2n + 1) .... Tan nπ/(2n + 1) = √(2n + 1)



Alguém consegue provar isso sem ser por complexos?

Tan π/(2n + 1) Tan 2π/(2n + 1) Tan 3π/(2n + 1) .... Tan nπ/(2n + 1) = √(2n + 1)

Dividindo por √(2n + 1)

(Tan π/(2n + 1) Tan 2π/(2n + 1) Tan 3π/(2n + 1) .... Tan nπ/(2n + 1))/(√(2n + 1)) = 1

Para ser igual a 1, o termo de cima tem que ser igual a 1 ou igual a (√(2n + 1)

Colocando

1 = tg(pi/4) = tg45º
(Tan π/(2n + 1) Tan 2π/(2n + 1) Tan 3π/(2n + 1) .... Tan nπ/(2n + 1)) = cateto oposto
(√(2n + 1) = cateto adjacente

Perceba que em um triangulo retangulo se é um ângulo é de 45º, o outro também é, caracterizando o triângulo como isosceles, os dois lados são iguais, logo  (Tan π/(2n + 1) Tan 2π/(2n + 1) Tan 3π/(2n + 1) .... Tan nπ/(2n + 1)) =(√(2n + 1)

Provando o enunciado

Genial!

Nickds12 escreveu:Tan π/(2n + 1) Tan 2π/(2n + 1) Tan 3π/(2n + 1) .... Tan nπ/(2n + 1) = √(2n + 1)

Dividindo por √(2n + 1)

(Tan π/(2n + 1) Tan 2π/(2n + 1) Tan 3π/(2n + 1) .... Tan nπ/(2n + 1))/(√(2n + 1)) = 1

Para ser igual a 1, o termo de cima tem que ser igual a 1 ou igual a (√(2n + 1)

Colocando

1 = tg(pi/4) = tg45º
(Tan π/(2n + 1) Tan 2π/(2n + 1) Tan 3π/(2n + 1) .... Tan nπ/(2n + 1)) = cateto oposto
(√(2n + 1) = cateto adjacente

Perceba que em um triangulo retangulo se é um ângulo é de 45º, o outro também é, caracterizando o triângulo como isosceles, os dois lados são iguais, logo  (Tan π/(2n + 1) Tan 2π/(2n + 1) Tan 3π/(2n + 1) .... Tan nπ/(2n + 1)) =(√(2n + 1)

Provando o enunciado

Olá,

Para provar que uma identidade é verdadeira, você não pode partir dela, pois, obviamente, você chegará numa conclusão verdadeira.

Na verdade sempre inferimos a partir da própria expressão. Já que o próprio enunciado já estabeleceu a igualdade. Exceto se ele estabelecesse mais de uma igualdade/condição.

Pode-se dizer apenas que foi algo redundante. Mas o objetivo do exercício não era simplificar expressões rs'

Quem tiver algo melhor seria legal, pois o exercício é interessante.

Será que ajuda em uma solução mais rápida? https://math.stackexchange.com/questions/346368/sum-of-tangent-functions-where-arguments-are-in-specific-arithmetic-series

 en.m.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas

Sim. Pode ser que tenha. Mas trabalhando no primeiro termo eu achei difícil alguém ver alguma coisa alí. E se o enunciado for esse mesmo, eu ficaria com a redundância rs'

Simplificar termos envolvendo soma e tangentes geralmente é bem menos complexo do que as multiplicações. E considerando que é do livro peruano, acho que não chega a esse ponto.

Nickds12 escreveu:Na verdade sempre inferimos a partir da própria expressão. Já que o próprio enunciado já estabeleceu a igualdade. Exceto se ele estabelecesse mais de uma igualdade/condição.

Pode-se dizer apenas que foi algo redundante. Mas o objetivo do exercício não era simplificar expressões rs'

Quem tiver algo melhor seria legal, pois o exercício é interessante.

Na verdade não. Para provarmos que a identidade é válida, devemos desenvolver um lado e chegar no outro lado. Ou, então, desenvolver um pouco de cada lado e chegar numa igualdade. Ou seja, não podemos simplesmente fatorar a identidade a partir dela mesma. Como você mesmo disse, isso é redundante.

Isso seria verdade se o enunciado não estabelecesse uma igualdade rs'

Como estabeleceu, é aquilo que eu disse. Se o enunciado fosse, por exemplo: "demonstre que para todo x pertencente ao conjunto dos números inteiros a igualdade é verdadeira". Ou seja, restringindo a solução a determinado subconjunto, teria que ser dessa forma que você disse.

Talvez alguém simplifique o termo. Seria ótimo rs'

Não vou prolongar nesse tópico porque depois não tem fim. Abraços.