Desafio 1949

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Mensagem por Elcioschin em Seg 16 Set 2019, 11:40

Este é um desafio e tanto, para comemorar, hoje, 16/09/2019, os meus 10 anos de fórum :

Em 1949 um matemático indiano propôs, num congresso de matemática um desafio; passados 70 anos, ainda não foi provado. Refere-se aos números mágicos 6174 e 495

1) Escolha uma senha de 4 dígitos de 0 a 9 (pode começar por 0) ---> por exemplo 3214
2) Escreva os 4 dígitos em ordem decrescente: 4321
3) Escreva os 4 dígitos em ordem crescente: 1234
4) Subtraia o menor do maior: 4321 - 1234 = 3087
5) Repita os passos 2, 3, 4 ---> 8730 - 0378 = 8352
6) Repita os passos 2, 3, 4 ---> 8532 - 2358 = 6174

1) Escolha uma senha de 3 dígitos de 0 a 9 (pode começar por 0) ---> por exemplo 547
2) Escreva os 3 dígitos em ordem decrescente: 754
3) Escreva os 3 dígitos em ordem crescente: 457
4) Subtraia o menor do maior do maior:754 - 457 = 297
5) Repita os passos 2, 3, 4 ---> 972 - 279 = 693
6) Repita os passos 2, 3, 4 ---> 963 - 369 = 594
7) Repita os passos 2, 3, 4 ---> 954 - 459 = 495

Isto sempre acontece, variando apenas o número de passos até chegar nos números mágicos. 
Por exemplo se a senha for 050 basta apenas 1 passo: 500 - 005 = 495
As senhas escolhidas não podem ser números capicuas, com algarismos repetidos: por exemplo, 2222 e 777 não podem ser senhas.

Alguém se habilita a tentar provar???? Se conseguir, vai ficar famoso na comunidade matemática mundial!!!
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Mensagem por Emanoel Mendonça em Ter 08 Out 2019, 16:30

Parabéns Mestre Elcioschin cheers , obrigado por ajudar a mim e tantos outros estudantes nesses 10 anos de fórum, Deus te abençoe.

Muito interessante esses tais números mágicos.
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Mensagem por PedroX em Qua 09 Out 2019, 12:46

Entre parênteses represento a soma dos dígitos:

5 = (5)
14 = (5)
26 = (Cool
(26) = (35) = ...

Podemos ir encontrando os números cuja soma são iguais ao somar 0 ou 9:
5 + 9 = 14 = (5)
26 + 9 = 35 = (Cool
(35) + 0 = (35)

Seja o número ABCD representável por 1000*A + 100*B + 10*C + D. Como os múltiplos de 10 não alteram o valor da soma dos algarismos, vamos desconsiderá-los. Ao subtrair o número espelhado, temos geralmente:

ABCD - DCBA = (A - D) + (B - C) + (C - B) + (D - A)

Obviamente a soma acima é 0, que tem o mesmo que 9 na soma dos algarismos.

6174 e 495 têm ambos peso 9.

Acho que não tem tanto a ver com a ordem, e sim com evitar algarismos repetidos (inclusive o algarismo simétrico).

Por exemplo, começando com 4321 - 3142 também chegamos em 6174: 1179->8532->6174.

Não estou dando uma resposta, mas algumas ideias.
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Mensagem por Elcioschin em Qua 09 Out 2019, 13:12

Acho que é um bom começo!

Só notei uma falha, na frase:

"Ao subtrair o número espelhado, temos geralmente"

Numa demonstração este geralmente não pode ser aceito, teria que ser sempre
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Mensagem por PedroX em Qua 09 Out 2019, 15:22

Realmente, seria necessário generalizar para uma demonstração.

Por outro lado, vou enfatizar que nos outros casos o resultado é o mesmo, as subtrações apenas não se agrupam da mesma forma tão naturalmente, por questões relacionadas ao "algoritmo" que usamos para subtrair números.

ABCD - DCBA = (A - D) + (B - C) + (C - B) + (D - A)

Por exemplo:
4321 = ABCD

ABCD - DCBA = 4321 - 1234

Na hora de realizar os cálculos, iremos tomar emprestado (ou somar 10 para o algarismo menos significativo e tirar 1 do mais significativo que ele, ou que não muda o resultado geral da soma dos algarismos, pois (10) = (1) na notação adotada):

... + (C - 1 - B) + (10 + D - A)

Está longe de ser uma demonstração, mas acho que podemos tirar algumas conclusões iniciais sobre o desafio.
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Mensagem por Elcioschin em Qua 09 Out 2019, 15:39

É isto mesmo

4321 - 1234 = (4000 + 300 + 20 + 1) - (1000 + 200 + 30 + 4)

4321 - 1234 = 3000 + 100 - 10 - 3

4321 - 1234 = 3000 + _0 -+ (100 - 10) - 3

4321 - 1234 = 3000 + _0 -+ 90 - 3

4321 - 1234 = 3000 + _-+ 80 + (10 - 3)

4321 - 1234 = 3000 + _0 -+ 8+ 7

4321 - 1234 = 3087

Já fui por este caminho mas empaquei.
Não é à toa que o desafio está sem solução há 70 anos!
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