Circunferências tangentes, apostila IME/ITA

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Resolvido Circunferências tangentes, apostila IME/ITA

Mensagem por lookez em Qua 11 Set 2019, 08:45

Determine as equações das circunferências tangentes à circunferência x² + y² = 1 e que passam pelos pontos A(0, 3) e B(4, -1).

Gabarito:
(x - 4)² + (y - 3)² = 16    e    (x - 12/7)² + (y - 5/7)² = 400/49

Igualando a distância de um ponto genérico aos pontos A e B encontrei a reta mediatriz do segmento AB que será x + y - 1 = 0, os centros das circunferências procuradas estão sobre ela e seus raios serão a distância entre os centros e os pontos dados. Agora imagino que preciso fazer a interseção com a circunferência inicial para encontrar as possibilidades, mas como fazer isso se só tenho a equação das circunf. pedidas em função dos pontos do centro?

EDIT: Erro de conta, leia meu post abaixo.


Última edição por lookez em Qua 11 Set 2019, 23:40, editado 2 vez(es)
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Resolvido Re: Circunferências tangentes, apostila IME/ITA

Mensagem por Elcioschin em Qua 11 Set 2019, 18:39

Desenhe, em escala, a circunferência de raio r = 1 dada e os pontos A e B

Existem duas circunferências:

1) A 1ª, de raio maior, tangência a circunferência dada no 1º quadrante
2) A 2ª, de raio menor, tangência a circunferência dada no 3º quadrante 

Sejam C(xC, yC) o centro da circunferência e R o seu raio

(x - xC)² + (y - yC)² = R²

A(0, 3) ---> (0 - xC)² + (3 - yC)² = R² --->

B(4, -1) ---> (4 - xC)² + (-1 - yC)² = R² ---> II
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Resolvido Re: Circunferências tangentes, apostila IME/ITA

Mensagem por Nickds12 em Qua 11 Set 2019, 19:27

Vou tentar mostrar meu ponto de vista se fosse olhar esse problema sem muita analise geométrica.

Distancia desses pontos e os centros das circunferencias (Raio)

(x-0)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y+1)^2

Temos que y = x - 1 a partir disso 

Portanto, a coordenada do centro das circunferencias seria (x, x-1)

Ou seja, 


(l-x)^2 + (p-x+1)^2 = k^2
(x-4)^2 + (y+1)^2 = k
(x-0)^2 + (y-3)^2 = k

Queremos saber k^2 = ((x-4)^2 + (y+1)^2)^2 para comparar com k^2 = (l-x)^2 + (p-x+1)^2 

(x - y - 1)(x - y -1) ----- Desenvolvimento de ((x-4)^2 + (y+1)^2)^2
(l-x)^2 + (p-x+1)^2 

(x - y - 1)(x - y -1)
1 - 2 x + x^2 + 2 y - 2 x y + y^2
x^2 - 2 x + 1 --------- (x-1)^2
y^2- 2 x y + 2y 

Comparando (x-1)^2 com (l-x)^2 
(l-x)= (x-4)
x = 4

Como (x, x-1)
y = 3

Portanto


(l-x)^2 + (p-x+1)^2 = k^2
(l-4)^2 + (p-3)^2 = k^2
(0-4)^2 + (3-3)^2 = k^2
k^2 = 16

(l-4)^2 + (p-3)^2 = 16

Achamos uma soluçao, agora a outra nao sei se possa ser obtida, porque, como eu disse, qualquer equaçao no formato (l-x)^2 + (p-x+1)^2 = k^2 passa pelos pontos do enunciado. E basicamente eh a segunda vez que vejo os resultados indo para os centros (1, 0) e (4,3), sao equações que no geral apresentam somente 1 soluçao quando igualadas a x^2 + y^2

Veja que 5/7 + 1 = 12/7 = x+1

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Resolvido Re: Circunferências tangentes, apostila IME/ITA

Mensagem por lookez em Qua 11 Set 2019, 23:12

Obrigado pessoal, cometi um erro de conta bem no início, por isso nada estava dando certo, a reta mediatriz na verdade é x - y - 1 = 0.

Utilizando essa reta para colocar uma coordenada do centro C(x꜀, y꜀) em função da outra, temos que y꜀ = x꜀ - 1

Escrevendo a equação das circunferências procuradas de forma genérica: (x - x꜀)² + (y - x꜀ + 1)² = R²

Podemos também obter R escrevendo a distância entre C e A ou B, como pertencem às circunferências procuradas: R² = (x꜀ - 0)² + (y꜀ - 3)² --> R² = x꜀² + (x꜀ - 4)²

Agora basta resolver o sistema com nossa circunferência genérica e a dada no enunciado, como queremos que se tangenciem, o Δ da equação do 2º grau em x que aparecer será zero, o que vai resultar em duas possibilidades para x꜀ e as circunf. pedidas são encontradas a partir desses dois valores. A conta é péssima e isso me leva a pensar que existe um jeito melhor de fazer, mas joguei a equação no Wolfram Alpha e de fato o resultado são as circunf. procuradas.

(1) (x - x꜀)² + (y - x꜀ + 1)² = x꜀² + (x꜀ - 4)²
(2) x² + y² = 1

Para quem quiser verificar, copie "(x-a)^2+(y-a+1)^2=a^2+(a-4)^2 intersection with x^2+y^2=1" no https://www.wolframalpha.com/ (a = x꜀)

Visualização do problema:
Circunferências tangentes, apostila IME/ITA Img_2023
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