Equação do 2 grau - parte 3

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Equação do 2 grau - parte 3 Empty Equação do 2 grau - parte 3

Mensagem por JEABM em Sab 24 Ago 2019, 20:57

determine m para que a equação do 2 grau: 3x^2 -2(m+2)x + m^2 -6m + 8 = 0, tenha raizes reais tais que X1 < 1 <  x2 < 4
Gab: 1< m < 4


Última edição por JEABM em Dom 25 Ago 2019, 14:57, editado 1 vez(es)

JEABM
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Equação do 2 grau - parte 3 Empty Re: Equação do 2 grau - parte 3

Mensagem por Mathematicien em Dom 25 Ago 2019, 10:36

Acho que o seu gabarito está errado. Quando m < 1, as raízes nem sequer são reais.

Acho que podemos fazer assim:

Verificamos (Δ ≥ 0) → (1 ≤ m ≤ 10), certo?

Então podemos fazer x1 > 0 e x2 < 4 :

Primeiro caso: x1 > 0

(2(m+2) - sqrt(-8m^2+88m-80))/6 > 0

1 ≤ m < 2
ou 4 < m ≤ 10

Segundo caso:  x2 < 4:

(2(m+2) + sqrt(-8m^2+88m-80))/6 < 4

1 ≤ m < 4

Terceiro caso: x1 < x2

(2(m+2) - sqrt(-8m^2+88m-80))/6 < (2(m+2) + sqrt(-8m^2+88m-80))/6

1 < m < 10

Fazendo a intersecção de tudo:

Solução: 1 < m < 2

Que vc pode verificar no GeoGebra. Esta resposta esta correta.

Não conheço outro método para resolver.

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Mensagem por JEABM em Dom 25 Ago 2019, 14:53

Perdão, escrevi errado vou arrumar na postagem em vermelho....

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Mensagem por Mathematicien em Dom 25 Ago 2019, 15:23

A lógica continua a mesma.

(Δ ≥ 0) → (1 ≤ m ≤ 10)

Primeiro caso: x1 < 1

(2(m+2) - sqrt(-8m^2+88m-80))/6 < 1

1 < m < 7

Segundo caso: x2 < 4

(2(m+2) + sqrt(-8m^2+88m-80))/6 < 4

1 ≤ m < 4

Naturalmente, como escolhemos x1 para ser a menor raiz (porque usamos o sinal negativo da fórmula de Bháskara), ela já é menor do que a x2. Porém, vamos colocar um terceiro caso (só para deixar a resposta bem completa):

Terceiro caso: x1 < x2

(2(m+2) - sqrt(-8m^2+88m-80))/6 < (2(m+2) + sqrt(-8m^2+88m-80))/6

1 < m < 10

Fazendo a intersecção de tudo:

Solução: 1 < m < 4

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Equação do 2 grau - parte 3 Empty Re: Equação do 2 grau - parte 3

Mensagem por JEABM em Dom 25 Ago 2019, 15:47

Só q n consegui tirar a dúvida q eu queria pois coloquei a questão errada...
Aproveitando o seu raciocínio eu fiz assim

X1 < 1 < x2 < 4

1 caso: X1 < 1 < x2

a. F(h) < 0
1 < m < 7
S1 = {m e R/ 1 < m < 7}

Caso 2: X1 < x2 < 4
a . f(z) > 0; delta >= 0 ; z > S/2

a . F(z) > 0
m < 4 ou m > 10

Delta > = 0
1 <= m <= 10

Z > S/2
M < 10

Fazendo a interseção do caso 2, tem:
S2 = {m e R / 1 < m < 4}

Fazendo a interseção de 1 e 2 temos:
S = {m e R/ 1 < m < 4}

Está certo esse jeito?

Grato

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Equação do 2 grau - parte 3 Empty Re: Equação do 2 grau - parte 3

Mensagem por Mathematicien em Dom 25 Ago 2019, 16:08

Não conheço bem esse método que vc utiliza. Me parece ser algum tipo de macete, mas não o conheço. Pelas conclusões às quais vc chega, acho que está certo.

Basicamente, o que eu faço é arrumar a fórmula das raízes (Bháskara, certo? Uma raiz é "-b + raiz ..."; e a outra é "-b - raiz ...") e fazer uma inequação. A raiz tal tem que ser menor que o número tal; a raiz tal tem que ser maior que o número tal.

Acho que esse é o método mais ortodoxo.

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Equação do 2 grau - parte 3 Empty Re: Equação do 2 grau - parte 3

Mensagem por JEABM em Dom 25 Ago 2019, 17:10

Grato pelos esclarecimentos e ajuda

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