Geometria plana, congruência de triângulos

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Mensagem por radium226 em Qui 08 Ago 2019, 21:13

Dado um triângulo qualquer ABC, D,E e F são pontos médios dos lados AC, AB e BC, respectivamente. Sendo BG a altura do triângulo ABC. Prove que \angle EGF=\angle EDF.

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Mensagem por Medeiros em Sex 09 Ago 2019, 02:50

Radium

antes de responder desejo estabelecer a pertinência da questão estar localizada neste fórum, por isso pergunto: esta questão é egressa de qual olimpíada?

ressalto que essa informação deve ser dada já no título da questão -- vide exemplo dos demais tópicos.
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Mensagem por Medeiros em Sex 09 Ago 2019, 03:03

Radium

desculpe-me. Vejo, agora, que juntaram os tópicos de olimpíadas aos de escolas militares. Então, por favor, desconsidere minha mensagem anterior e vamos à resposta.


Geometria plana, congruência de triângulos Scree463

O Círculo de Euler passa por:
* os três pontos médios de cada lado;
* os três pés das alturas relativas a cada vertice;
* os pontos médios dos três segmentos determinados por cada vértice e o ortocentro.
São 9 pontos notáveis.

para resolver esta questão basta saber que existe um "Círculo de Euler" passando pelos pontos D, E, F e G.
ainda mostrei onde fica o centro (N) deste círculo.
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Mensagem por radium226 em Sex 09 Ago 2019, 10:49

Sabia que tinha um círculo! Estava tentando provar que o trapézio DEFG era inscritivel, sem sucesso. Muito obrigado Smile. Encontrei essa questão num material de congruência de triângulos do POTI (vinculado a OBMEP), por isso postei nesse tópico, já que as questões são de nível mais difícil.

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Mensagem por Medeiros em Sex 09 Ago 2019, 11:17

Para provar que DFEG é um trapézio inscritível (isósceles) basta provar que DF = EG, ou então que ED = FG. É um caminho, não tentei.
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Mensagem por radium226 em Sab 10 Ago 2019, 20:15

Apenas para facilitar para os futuros leitores, vou postar a demonstração do porquê do trapézio citado ser isósceles (que retirei da demonstração da existência do círculo dos nove pontos, disponível em http://www.rpm.org.br/cdrpm/14/12.htm). Considere o triângulo ABC, com E,D e F sendo os pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectivamente. Conectando os segmentos dos pontos médios, formando o triângulo EDF, temos que ED=BC/2, EF=AC/2 e DF=AB/2 e que ED é paralelo a BC, EF é paralelo a AC e DF é paralelo a AB, pelo teorema da base média do triângulo (demonstração: https://youtu.be/Ib1-B0eDCiI). Analisando os segmentos gerados pelos pontos médios, tambem, valem as seguintes igualdades:
\triangle EBF=\triangle ADE=\triangle CDF=\triangle DEF
Analisando o triângulo retânguo ABH, podemos traçar sua mediana relativa ao ângulo reto, formando os triângulos isósceles BEH e AEH (isso pode ser facilmente demonstrado usando o teorema da base média, também). Segue imediatamente que EH=DF, e como ED é paralelo a BC (portanto, paralelo a HF), então o trapézio EDFH é isósceles. Outra forma de obter o resultado pedido pelo problema sem ser traçando o círculo de Euler é simplesmente observando que EDH também é congruente a EDF (caso LLL), o que implica que o ângulo DHE é igual ao ângulo DFE. Geometria plana, congruência de triângulos Circul10

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