Transformações trigonométricas

por Honeyluz29 Sáb 27 Jul 2019, 20:29

Oii, alguém pode explicar como se resolve essa equação?

cos²2x + cos²5x = 1
Gabarito: possui 3 soluções em [ 0, pi/4]

por Emersonsouza Sáb 27 Jul 2019, 21:23

cos²2x + cos²5x = 1<-> cos²2x + cos²5x = cos²2x + sen²2x --> cos²5x= sen²2x --> cos²5x- sen²2x=0-->
(Cos5x-sen2x)(cos5x+sen2x)=0
Cos5x-sen2x =0
Ou
Cos5x+sen2x=0

Sen2x = cos (90-2x),pois 2x está no primeiro quadrante (x €[0,pi/4])

Para Cos5x+sen2x=0,temos
Cos5x + cos(90-2x)=0 --> aplicando prostaferese temos:
2*Cos((3x+90)/2)*cos((7x-90)/2)=0
2*Cos((3x+90)/2)=0 ou cos((7x-90)/2)=0

2*Cos((3x+90)/2)=0--> (3x+90)/2=90--> 3x+90=180-->
3x=90--> x=30=pi/6

cos((7x-90)/2)=0 --> (7x-90)/2=90--> 7x= 270--> x= 270/7 = 3pi/14

Para Cos5x-sen2x=0,temos:
cos5x= sen2x --> cos5x= cos(90-2x) --> 5x=90-2x--> 7x=90--> x= 90/7=pi/14
OBS: para Cos5x-sen2x=0 podemos também aplicar prostaferese, dará a mesmo resultado e uma solução repetida.

Bom, acho que é isso
Qualquer dúvida estamos aí!

por **Vitor Ahcor** Sáb 27 Jul 2019, 21:38

Lembrando da fórmula do arco metade:

\cos\theta =\pm \sqrt{\frac{1+cos2\theta}{2}}\therefore cos^{2}\theta = \frac{1+cos2\theta}{2}

Substituindo na expressão, vem:

\frac{1+cos4x}{2} + \frac{1+cos10x}{2} = 1\Rightarrow 2 + cos4x + cos10x = 2\Rightarrow cos4x + cos10x =0

Utilizando a fórmula de Prostaférese, temos:

cos7x\times cos3x = 0

Temos dois casos possíveis, note:

1° Caso: cos7x = 0

7x = \frac{\pi }{2} + k\pi \therefore x = \frac{\pi}{14} + \frac{k\pi}{7}

k=0: x = \frac{\pi}{14} (convém)

k=1: x = \frac{3\pi}{14} (convém)

k=2: x = \frac{5\pi}{14} (não convém)

2° Caso: cos3x = 0

3x = \frac{\pi }{2} + k\pi \therefore x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}

k=0: x = \frac{\pi }{6} (convém)

k=1: x = \frac{\pi }{2} (não convém)

Totalizando três soluções no intervalo pedido.

*OBS: Postei minha solução pois já havia escrito grande parte dela.