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Resolvido integral

Mensagem por deisearosa Qua 10 Jul 2019, 15:05

As funções reais de variáveis reais f e g estão representadas abaixo, no mesmo sistema de eixos cartesianos, sendo 0 e 4 os zeros da função quadrática f, e g uma função linear que intersecta o gráfico de f nos pontos (0,0) e (3, 6). Seja S a região do plano (sombreada) constituída de todos os pontos que estão abaixo do gráfico de f e acima do gráfico de g.

integral 5c152aab34592026b561
A área da região S corresponde a que fração da área do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 9) e (0, 9)?
"gabarito é 1/4"

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Resolvido Re: integral

Mensagem por radium226 Qua 10 Jul 2019, 15:55

Área sobre g no intervalo 0 até 3 é a área de um triângulo: \frac{3\cdot6}{2}=9
f é quadrática, logo é do tipo ax²+bx+c. Analisando o gráfico, temos que f(0)=0=c, f(3)=6=3²a+3b+c e f(4)=0=4²a+4b+c, logo (resolvendo o sistema), f(x)=-2x²+8x.
Área sobre f no intervalo 0 até 3:
\int(-2x^2+8x)dx=\frac{-2x^3}{3}+4x^2=F(x)  \Rightarrow  F(3)=18, F(0)=0 \Rightarrow |F(3)-F(0)|=18
A área sombreada nada mais é que a área de f no intervalo de 0 até 3 menos a área de g nesse mesmo intervalo. 18-9=9. A área do retangulo é (base*altura)9*4=36. Fazendo a razão entre a área da curva e do retângulo:
\frac{9}{36}=\frac{1}{4}

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