Prova de parametrizações

por Loreti Dom 02 Jun 2019, 18:26

Mostrar que c1: R^{2}\rightarrow R^{3} e c2: R_{\geq 0} x [0,2\pi ]\rightarrow R^{3} dadas por
c1(u,v)=(u,v,\frac{u^{2}}{a^{2}}+\frac{v^{2}}{b^{2}}), com a, b não nulos.
c2(u,v)=(aucos(v),busen(v), u^{2})
são duas parametrizações do parabolóide elíptico.

por **fantecele** Dom 02 Jun 2019, 20:34

A equação do paraboloide elíptico é z/c = x²/a² + y²/b², nesse caso o eixo do paraboloide é o eixo z.

Para c1:

x = u → x² = u²
y = v → y² = v²
z = u²/a² + v²/b² → z = x²/a² + y²/b²

Para c2:

x = a.u.cos(v) → x/a = u.cos(v) → x²/a² = u².cos²(v)
y = b.u.sen(v) → y/b = u.sen(v) → y²/b² = u².sen²(v)
z = u²

x²/a² + y²/b² = u².cos²(v) + u².sen²(v) = u².(cos²(v) + sen²(v)) = u² = z
z = x²/a² + y²/b²

Ambas satisfazem a equação do paraboloide elíptico, perceba que nesses casos temos c = 1.

Creio que seja isso, qualquer coisa é só falar.

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