Os três quadrados
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Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Os três quadrados
Excelente questão, Mestre Elcio!
O Senhor a elaborou ou a retirou de algum livro?
Grato desde já.
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O Senhor a elaborou ou a retirou de algum livro?
Grato desde já.
Geomet plana 3 quadrados
Viniciuscoelho- Fera
- Mensagens : 644
Data de inscrição : 25/12/2009
Idade : 35
Localização : Salvador
Re: Os três quadrados
Vinicius
Que solução complexa!!!!
Eu retirei de um livro recentemente adquirido.
Existe uma solução bem mais simples, porém BASTANTE criativa, envolvendo apenas:
1) Ângulo externo de triângulo
2) Teorema de Pitágoras
3) Semelhança de triângulos
Que solução complexa!!!!
Eu retirei de um livro recentemente adquirido.
Existe uma solução bem mais simples, porém BASTANTE criativa, envolvendo apenas:
1) Ângulo externo de triângulo
2) Teorema de Pitágoras
3) Semelhança de triângulos
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Os três quadrados
Mestre Elcio, meu amigo Leornado Lima resolveu de forma muito mais simples e elegante, considerando como referencial a solução, que apresentei.
Solução do Leornado Lima
Abraços
Solução do Leornado Lima
Considere a associação:
A-E
E-B
C-C
Temos:
EC/AC = BC/EC
ângulo C = ângulo C (mesmo âng.)
Pelo caso LAL de semelhança, triâng. AEC~triâng.EBC
Em particular, m(BEC) = m(EAC)= a
Fixando o triâng. EBC, vale que o âng. externo é igual à soma dos internos não adjacentes, ou seja, a + b = c, cqd
Abraços
Viniciuscoelho- Fera
- Mensagens : 644
Data de inscrição : 25/12/2009
Idade : 35
Localização : Salvador
Re: Os três quadrados
Eis a solução do livro
Acrescentei na figura mais alguns quadrados e chamei de X o ângulo BÊC
Pelo teorema do ângulo externo do triângulo BEC ----> C = B + X
Para provar a questão, basta provar X = A
Seja 1 o lado do quadrado
1) Note que o triângulo retângulo ADC tem um cateto que que é o triplo do outro:
AD = 3*DE = 3
2) Note agora o triângulo EQP:
PE² = 2² + 4² ---> PE² = 20
QE² = 3² + 3² ---> QE² = 18 ---> QE = 3*\/2
PQ² = 1² + 1² ---> PQ² = 2 ----> PQ = \/2
O triângulo EQP é retângulo ----> PE² = QE² + PQ²
Um cateto é o triplo do outro
Logo, os triângulos ADE e EQP são semelhantes ----> X = A
Provado !!!
Acrescentei na figura mais alguns quadrados e chamei de X o ângulo BÊC
Pelo teorema do ângulo externo do triângulo BEC ----> C = B + X
Para provar a questão, basta provar X = A
Seja 1 o lado do quadrado
1) Note que o triângulo retângulo ADC tem um cateto que que é o triplo do outro:
AD = 3*DE = 3
2) Note agora o triângulo EQP:
PE² = 2² + 4² ---> PE² = 20
QE² = 3² + 3² ---> QE² = 18 ---> QE = 3*\/2
PQ² = 1² + 1² ---> PQ² = 2 ----> PQ = \/2
O triângulo EQP é retângulo ----> PE² = QE² + PQ²
Um cateto é o triplo do outro
Logo, os triângulos ADE e EQP são semelhantes ----> X = A
Provado !!!
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Os três quadrados
Muito boa a solução do livro, Mestre Elcio.
Viniciuscoelho- Fera
- Mensagens : 644
Data de inscrição : 25/12/2009
Idade : 35
Localização : Salvador
Re: Os três quadrados
que solução genial!
rodrigomr- Mestre Jedi
- Mensagens : 647
Data de inscrição : 13/04/2011
Idade : 31
Localização : Lavras, Minas Gerais, Brasil
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