Seno e cosseno do arco triplo (e outros)

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Mensagem por marcosprb em Dom 19 Maio 2019, 01:15

Comecei a estudar complexos a pouco tempo e me deparei com uma demonstração interessante do seno e cosseno do arco duplo, triplo,..., e até onde se conhecer o binômio de newton. É uma demonstração simples, mas que achei muito interessante.
Seja z=r(cos(θ)+isen(θ)) => zⁿ=rⁿ(cos(nθ)+isen(nθ)) (Moivre) => z³=r³(cos(3θ)+isen(3θ)) (1)
A potenciação ''comum'' de z³=r³(cos(θ)+isen(θ))³=r³(cos³(θ)+3cos²(θ)isen(θ)-3cos(θ)sen²(θ)-isen³(θ) (2)
(1)=(2)=>

r³(cos(3θ)+isen(3θ))=r³(cos³(θ)+3cos²(θ)isen(θ)-3cos(θ)sen²(θ)-isen³(θ)

(cos(3θ)+isen(3θ))=(cos³(θ)-3cos(θ)sen²(θ))+(3cos²(θ)sen(θ)-sen³(θ))i
Igualando as partes real com real e imaginário com imaginário =>
cos(3θ)=(cos³(θ)-3cos(θ)sen²(θ))=4cos³(θ)-3cos(θ)  (Substituindo sen²(θ) por 1-cos²(θ))
sen(3θ)=(3cos²(θ)sen(θ)-sen³(θ))=3sen(θ)-4sen³(θ) (Substituindo cos²(θ) por 1-sen²(θ))

Me avisem caso tenha cometido algum erro.
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