OBM nível 2

Numa lousa estão escritos inicialmente os números 1,2,...,10. Para quaisquer dois números a e b na lousa chamamos de S(a,b) a soma de todos os números na lousa com exceção de a e b. Uma operação permitida é escolher dois números a e b na lousa, apagá-Los e escrever o número a+b+(ab)/S(a,b). Após realizar essa operação algumas vezes restam na lousa apenas dois números x e y, com x maior ou igual a y.

a) Quantas operações foram realizadas?
b) Determine o maior valor possível para x.


Não conheço ninguém que havia matado essa.

Olá, encontrei essa resolução: https://pt.quora.com/Como-posso-resolver-a-quest%C3%A3o-5-da-OBM-2018-Realmente-considero-como-a-mais-dif%C3%ADcil-da-prova

Tomei um spoiler da solução enviada acima. Mas aqui está um caminho mais rápido: 

a) 10-2 = 8  operações, pois todas as operações nos deixam com um número a menos.

b) S,  a soma do produto dos pares de números em todos os pares é invariável, pois, quando a, b  são apagados, perdemos  ab + (a + b) S_ {a, b}  e obtemos: 
                    
                                                            

Então,

                                         

Além disso, observe que o mínimo nunca diminui, portanto  y ≥ 1 ⇒ x ≤1320.  A igualdade pode ser alcançada nunca usando  1  até que os únicos números restantes sejam  1, x ⇒ x = 1320.