Torricelli, Stevin e a hidrostática

O teorema de Torricelli estabelece que a velocidade de escoamento de um líquido por um orifício é igual à velocidade de um corpo que cai livremente no vazio de uma altura h correspondente à altura do nível do líquido até o centro de gravidade do orifício. A velocidade (v) do líquido, ao sair pelo orifício, pode ser expressa pela equação , em v=√2gh que g é a aceleração da gravidade. Os esquemas mostrados nas figuras I e II acima podem ser utilizados para se verificar o teorema de Torricelli, pela observação do fluxo de um líquido através de pequenos orifícios de um recipiente, sob a ação da gravidade. Um mesmo recipiente parcialmente preenchido com água em repouso é deixado aberto na figura I e tampado na figura II. Nas figuras, P1, P2 e P3 são as pressões nos pontos onde se localizam as torneiras 1, 2 e 3, respectivamente. Ambos os sistemas estão localizados na superfície terrestre. Considerando as informações acima, assumindo g = 9,8 m/s² como a aceleração da gravidade e considerando, ainda, que as torneiras sejam idênticas e possuam abertura frontal e que não haja atrito entre o jato de água e o ar na atmosfera, julgue os itens

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(C) Em cada uma das situações, o alcance máximo da água no solo varia com a velocidade de saída do jato de água; para um observador localizado no solo, os jatos de água que jorram nas torneiras percorrem trajetórias parabólicas.

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( E ) Na situação da figura II, P1 = P2 = P3.

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Olá! No primeiro item, não deveria informar onde estaria tal observador? Porque dependendo do lugar ele não estaria vendo uma parábola 

No segundo item, por que está falsa?

Hipóteses:

(1): fluido ideal (fluido desprovido de viscosidade);

(2): Aplicação do Bernoulli sobre uma mesma linha de corrente;

(3): O diâmetro do tanque é muito maior que o diâmetro da torneira, logo, a velocidade da lâmina d'água (da superfície da água do tanque) no tanque é praticamente nula;

(4): Sistema isento de perdas de energia (perda de carga).

\\\frac{p_1}{\gamma }+\frac{v_1^2}{2g}+z_1=\frac{p_2}{\gamma }+\frac{v_2^2}{2g}+z_2\\\\z_1=\frac{v_2^2}{2g}\to v_2=\sqrt{2gz_1}\ \therefore \ v(z)=\sqrt{2gz}\\\\t_q=\sqrt{\frac{2(H-z)}{g}}\ \therefore \ A=v(z)t_q\to \underset{\mathrm{Perfil\ parabolico!}}{\underbrace{A(z)=\sqrt{4z(H-z)}}}\\\\\frac{dA(z)}{dz}=\frac{d}{dz}\left [ \sqrt{4z(H-z)} \right ]=0\ \therefore \  \boxed {\underset{\mathrm{Maximizadores!}}{\underbrace{z=\frac{H}{2}\rightarrow A_{max}=H}}}

1°) Verdade. O alcance é função da velocidade de saída da água no orifício. Ao meu ver, esta proposição foi bem redigida (minha opinião, talvez algum outro colega possa fazer melhores observações quanto a redação da proposição).

2°) Proposição 2: princípio de Stevin.

P(z)=ρgz, em que z é a coluna líquida.

Sobre o ponto 1 há uma coluna líquida de água maior que sobre o ponto 2 e também que o ponto 3, sendo assim, a pressão nesse ponto é maior que nos outros dois. A mesma ideia vale para o ponto 2. Neste ponto, a coluna de água sobre o mesmo é maior que a do ponto 3 e menor que a do ponto 1, logo, a pressão nesse ponto é maior que a do ponto 3 e menor que a do ponto 1. Analogamente, o ponto 3 é ponto de menor pressão.

Nota¹: caso você não saiba derivar, basta fazer uma mudança de variável que você consegue maximar a função A(z). Por exemplo, faça A²(z)=U(z). Ao fazer esta mudança você cairá em uma função do segundo grau, a qual é fácil de maximizar sem utilizar derivadas. Maximize U(z) e, em seguida, volte para A(z).

Nota²: a nível de ensino médio, até onde eu sei, não é necessário enunciar as hipóteses de validade da equação de Bernoulli para aplicá-la, geralmente isso é feito mais no ensino acadêmico. Eu o fiz apenas para deixar a resolução mais completa.

Bom, se surgir dúvidas é só falar. Confira os cálculos, pois eu não os revisei.

Perdoe-me por não ter dado um retorno. De início eu não respondi pois eu não sabia a resposta (eu deveria ter dito isso     ). Nesse tempo me veio um pensamento que me parece certo.

Com apenas uma torneira aberta, a coluna d'água acima da torneira não será suficiente para gerar uma pressão que vença a pressão atmosférica atuante externamente. Assim, deve-se abrir uma segunda torneira para que a pressão atmosférica entre por uma das torneira e faça com que a água saia pela outra torneira.