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logaritmo

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Resolvido logaritmo

Mensagem por Kowalski Dom 21 Abr 2019, 16:26

Indique a solução para o sistema de equações abaixo:
logaritmo Log13
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Resolvido Re: logaritmo

Mensagem por Giovana Martins Dom 21 Abr 2019, 16:39

\\2^{log_{2^{-1}}(x+y)}=5^{log_5(x-y)}=2^{log_2(x+y)^{-1}}\\\\\therefore \ x-y=\frac{1}{x+y}\to x^2-y^2=1\ (1)\\\\log_2(xy)=\frac{1}{2}\to xy=\sqrt{2 }\ (2)\\\\\mathrm{De\ (1)\ e\ (2):\ }\boxed {(x,y)=\left ( \sqrt{2},1 \right )}

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Resolvido Re: logaritmo

Mensagem por Elcioschin Dom 21 Abr 2019, 16:50

Giovana foi mais rápida!!! Vou pstra apenas por estar mais detalhado.

Na 1ª equação, no 1º membro:

2log1/2(x + y) ---> Mudando de base 1/2 para base 2

2log2(x + y)/log2(1/2)  = 2log2(x + y)/(-1) = [2log2(x + y)]-1 = (x + y)-1 = 1/(x + y) ---> I

No 2º membro ---> 5log5(x - y) = x - y ---> II

I = II ---> 1/(x + y) = x - y --> (x - y).(x + y) = 1 ---> x² - y² = 1 ---> III

Na 2ª equação:

log2x + log2x = 1/2 ---> log2(x,y) =log2(√2) --->

x.y = √2 ---> x².y² = 2 ---> y² = 2/x² ---> IV

IV em III ---> x² - (2/x²) = 1 ---> (x²)² - x² - 2 = 0 ---> Equação do 2º grau na variável x²

Raiz real ---> x² = 2 ---> x = √2

III ---> 2 - y² = 1 ---> y² = 1 ---> y = 1 

Solução {(√2, 1)}
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Resolvido Re: logaritmo

Mensagem por Kowalski Dom 21 Abr 2019, 17:30

Muito obrigado !!!! cheers
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Resolvido Re: logaritmo

Mensagem por Jessie Dom 21 Abr 2019, 18:05

Elcioschin escreveu:Giovana foi mais rápida!!! Vou pstra apenas por estar mais detalhado.

Na 1ª equação, no 1º membro:

2log1/2(x + y) ---> Mudando de base 1/2 para base 2


Dá pra fazer também aplicando as propriedades de potência, como:


2^{1}= \left ( \frac{1}{2} \right )^{-1}
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Resolvido Re: logaritmo

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