Geometria Plana

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Mensagem por NMS50 em Sex 12 Abr 2019, 19:05

Na figura abaixo estão representados dois triângulos eqüiláteros, ABC e PQR, cujos lados medem a e 2a, respectivamente. O vértice P coincide com o baricentro do triângulo ABC, C pertence ao lado PQ e os lados PR e AC interceptam-se no ponto D. Assim sendo, é correto afirmar que:

01. O ângulo PCD mede 30°. 
02. O segmento PD mede a\/3/6 . 
04. Os pontos B, P e D são colineares. 
08. O segmento PC mede a\/3/6 .

Gabarito:Geometria Plana 10210Geometria Plana 10210 01. V, 02. V, 04. V, 08. F

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Mensagem por Elcioschin em Sex 12 Abr 2019, 20:45

O ponto P é o baricentro do ∆ ABC (ponto de encontro das três alturas)
Seja H o ponto médio de BC e é da altura h = AH

01) PC é bissetriz de A^CB = D^CB = 60º ---> P^CD = P^CH = 30º e C^PD = 60º

Do mesmo modo todos os demais ângulos mostrados valem 30º e 

AH = BD = a.cos30º ---> BD = a.√3/2

02) PD = BD/3 ---> PD = (a.√3/2)/3 --> PD = a.√3/6

04) Verdade: a bissetriz BD passa pelo baricentro P e pelo ponto médii D de AC

08) PC.cos30º = CD ---> PC.(√3/2) = a/2 ---> PC = a.√3/3
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Mensagem por NMS50 em Sab 13 Abr 2019, 09:27

Muito obrigada pela resposta, só estou na dúvida de como vc chegou nessa igualdade:
AH = BD = a.cos30º ---> BD = a.√3/2

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Mensagem por Elcioschin em Sab 13 Abr 2019, 13:01

AH = BD são duas alturas de um triângulo equilátero

No triângulo retângulo AHC (por exemplo), podemos escrever

cos(HÂC) = AH/AC ---> AH = AC.cos(HÂC) ---> AH = a.cos30º
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Mensagem por NMS50 em Sab 13 Abr 2019, 16:52

Muuuuito obrigada Elcio! 
Entendi agora!

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