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Geometria Plana

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Mensagem por NMS50 Sex 12 Abr 2019, 20:05

Na figura abaixo estão representados dois triângulos eqüiláteros, ABC e PQR, cujos lados medem a e 2a, respectivamente. O vértice P coincide com o baricentro do triângulo ABC, C pertence ao lado PQ e os lados PR e AC interceptam-se no ponto D. Assim sendo, é correto afirmar que:

01. O ângulo PCD mede 30°. 
02. O segmento PD mede a\/3/6 . 
04. Os pontos B, P e D são colineares. 
08. O segmento PC mede a\/3/6 .

Gabarito:Geometria Plana 10210Geometria Plana 10210 01. V, 02. V, 04. V, 08. F

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Mensagem por Elcioschin Sex 12 Abr 2019, 21:45

O ponto P é o baricentro do ∆ ABC (ponto de encontro das três alturas)
Seja H o ponto médio de BC e é da altura h = AH

01) PC é bissetriz de A^CB = D^CB = 60º ---> P^CD = P^CH = 30º e C^PD = 60º

Do mesmo modo todos os demais ângulos mostrados valem 30º e 

AH = BD = a.cos30º ---> BD = a.√3/2

02) PD = BD/3 ---> PD = (a.√3/2)/3 --> PD = a.√3/6

04) Verdade: a bissetriz BD passa pelo baricentro P e pelo ponto médii D de AC

08) PC.cos30º = CD ---> PC.(√3/2) = a/2 ---> PC = a.√3/3
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Mensagem por NMS50 Sáb 13 Abr 2019, 10:27

Muito obrigada pela resposta, só estou na dúvida de como vc chegou nessa igualdade:
AH = BD = a.cos30º ---> BD = a.√3/2

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Mensagem por Elcioschin Sáb 13 Abr 2019, 14:01

AH = BD são duas alturas de um triângulo equilátero

No triângulo retângulo AHC (por exemplo), podemos escrever

cos(HÂC) = AH/AC ---> AH = AC.cos(HÂC) ---> AH = a.cos30º
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Mensagem por NMS50 Sáb 13 Abr 2019, 17:52

Muuuuito obrigada Elcio! 
Entendi agora!

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Mensagem por rhannastudy Ter 28 Jun 2022, 10:22

olá, faltou o item 16 o qual diz que " Se a área do triângulo PQR é igual a 576 cm2 , então a área do triângulo PDC é igual a 24 cm2 ." Alguém poderia me ajudar passo-a-passo como resolver? minha resposta nao está batendo.

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Mensagem por Elcioschin Ter 28 Jun 2022, 10:44

Se vc diz que sua resposta "não bate", significa que vc sabe o gabarito da 16.
Assim, você não está respeitando a Regra XI do fórum: a postagem do gabarito é obrigatória.

E vc deve mostrar o passo-a-passo da sua solução para vermos se/onde errou.
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Mensagem por rhannastudy Ter 28 Jun 2022, 12:13

Elcioschin escreveu:Se vc diz que sua resposta "não bate", significa que vc sabe o gabarito da 16.
Assim, você não está respeitando a Regra XI do fórum: a postagem do gabarito é obrigatória.

E vc deve mostrar o passo-a-passo da sua solução para vermos se/onde errou.
olá, me desculpe, o item 16 está correto.
TRIANGULO EQUILATERO: [latex]L^{^{2}}\sqrt{3}/4[/latex]=576
L= 48[latex]\sqrt{3}[/latex]
 triangulo pdc
b.h/2=[latex]a^{^{2}}[/latex][latex]\sqrt{3}[/latex]/12
[latex](48\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}/12[/latex]=576[latex]\sqrt{3}[/latex]

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Mensagem por Elcioschin Ter 28 Jun 2022, 12:38

Você usou L mas o enunciado disse que o lado de PQR vale 2.a

S(ABC) = a².√3/4 ---> I

S(PQR) = (2.a)².√3/4 ---> S(PQR) = a².√3

S(PQR) = 576 ---> a².√3 = 576 ---> a² = 576/√3

S(ABC) = (576/√3).√3/4 ---> S(ABC) = 144

S(PDC) = (1/6).S(ABC) ---> S(PDC) = (1/6).144 ---> S(PDC) = 24 ---> Correta
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Mensagem por rhannastudy Ter 28 Jun 2022, 15:28

entendi, muito obrigada!! Geometria Plana 2665

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