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Equivalência de capitais na capitalização composta

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Equivalência de capitais na capitalização composta Empty Equivalência de capitais na capitalização composta

Mensagem por netuno Qui 11 Abr 2019, 14:01

Um apartamento pode ser comprado à vista por $ 320.000 ou pagando-se 20% de entrada mais duas prestações de $170.000 cada,
a primeira para três meses e a segunda para sete meses. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. Se a taxa de juros 
vigente no mercado para aplicações financeiras for de 2% a.m., qual será a melhor opção de compra?

Resposta: 5,9822% a.m.; à vista.

netuno
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Equivalência de capitais na capitalização composta Empty Re: Equivalência de capitais na capitalização composta

Mensagem por Luiz 2017 Qui 11 Abr 2019, 19:52

netuno escreveu:Um apartamento pode ser comprado à vista por $ 320.000 ou pagando-se 20% de entrada mais duas prestações de $170.000 cada, a primeira para três meses e a segunda para sete meses. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento.

Se a taxa de juros vigente no mercado para aplicações financeiras for de 2% a.m., qual será a melhor opção de compra?

Resposta: 5,9822% a.m.; à vista.
 


Respostas:

1) Equação geral do valor presente para a série postecipada de pagamentos em questão:

PV - E = \frac{PMT_1}{(1+i)^{n_1}}+\frac{PMT_2}{(1+i)^{n_2}}

E = Entrada = 20% de 320.000,00 = $ 64.000,00
PMT1 = valor primeira prestação = $ 170.000,00
PMT2 = valor segunda prestação = $ 170.000,00
n1 = número de meses  da 1ª prestação = 3
n2 = número de meses da 2ª prestação = 7
PV = valor presente = valor à vista = 320.000,00
Taxa mensal = ?

Substituindo valores:

320000 - 64000 = \frac{170000}{(1+i)^3}+\frac{170000}{(1+i)^7}

256000 = 170000 \cdot \left[ \frac{1}{(1+i)^3}+\frac{1}{(1+i)^7} \right]

\frac{256000}{170000} = \left[ \frac{1}{(1+i)^3}+\frac{1}{(1+i)^7}\right]

\frac{256}{170} = \frac{1}{(1+i)^3} + \frac{1}{(1+i)^7}

\frac{256}{170} = (1+i)^{-3} + (1+i)^{-7}

Levando esta equação no Wolfram-Alpha obtém-se a solução:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+256%2F170+%3D+(1%2Bx)%5E(-3)+%2B+(1%2Bx)%5E(-7)

i = 0,0598219...

Portanto:

\boxed{i \approx 5,9822\% }


2) Se a taxa for de i = 2% am = 0,02 am:

PV - E = \frac{PMT_1}{(1+i)^{n_1}}+\frac{PMT_2}{(1+i)^{n_2}}

Substituindo valores:

PV - 64000 = \frac{170000}{(1+0,02)^3}+\frac{170000}{(1+0,02)^7}

PV = 64000 + 170000 \times \left[1,02^{-3}+ 1,02^{-7} \right]

PV = 64000 + 170000 \times 1,812882513

\boxed{PV = 372.190,03}

À vista = 320.000,00 é mais vantajoso.


Luiz 2017
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