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Análise combinatória - (cubo de papelão)

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Análise combinatória - (cubo de papelão) Empty Análise combinatória - (cubo de papelão)

Mensagem por Kongo Qua 20 Jul 2011, 17:47

Um cubo de papelão é desdobrado em torno de uma face, obtendo-se uma cruz formada por 6 quadrados. Quer-se pintar a frente dessa cruz, cada quadrado de uma cor. Pintando um quadrado, não se pode pintar, em seguida, um quadrado que não tenha ao menos um ponto em comum como o que se acabou de pintar (isto é , dois quadrados pintados um após o outros devem ter, obrigatoriamente, um vértice ou um lado em comum).
Dispondo-se de 5 cores, de quantos modos pode ser pintada a cruz se dois quadrados ligados por um vértice ou por um lado não podem ter a mesma cor e a pintura é inciada pela cabeça da cruz?

Gabarito:
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Análise combinatória - (cubo de papelão) Empty Re: Análise combinatória - (cubo de papelão)

Mensagem por Elcioschin Qui 21 Jul 2011, 10:29

.........______
........|.........|
....... |....A...|
_____|_____.|______
|....... |.........|.........|
|...B.. |....C...|.....D...|
|_____|_____.|_____.|
.........|.........|
.........|...E....|
.........|_____.|
.........|.........|
.........|...F....|
.........|_____.|

Para o A são 5 possibilidades
Para o B são 4 possibilidades (não pode ser a mesma do A)
Para o C são 3 possibilidades (não pode ser a mesma do A e do B)
Para o D são 3 possibilidades (não pode ser a mesma do A e do C)
Para o E são 2 possibilidades (não pode ser a mesma do B, C e D)
Para o F são 4 possibilidades (não pode ser a mesma do E)

Total = 5*4*3*3*2*4 = 1440



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Análise combinatória - (cubo de papelão) Empty Re: Análise combinatória - (cubo de papelão)

Mensagem por profpastel Ter 05 maio 2015, 07:34

Semana passada esbarrei exatamente nesta questão, dei uma busca no google e achei este post.

Fiquei com uma dúvida:

Se as faces B e D tiverem a mesma cor, o número de possibilidades para a face E será igual a 3.

Dividi em dois casos:

1o) As faces B e D têm cores iguais.

Para o A são 5 possibilidades
Para o B são 4 possibilidades (não pode ser a mesma do A)
Para o C são 3 possibilidades (não pode ser a mesma do A e do B)
Para o D são 1 possibilidades (não pode ser a mesma do A e do C)
Para o E são 3 possibilidades (não pode ser a mesma do B, C e D)
Para o F são 4 possibilidades (não pode ser a mesma do E)

Total = 5*4*3*1*3*4 = 720

2o) As faces B e D têm cores diferentes.


Para o A são 5 possibilidades
Para o B são 4 possibilidades (não pode ser a mesma do A)
Para o C são 3 possibilidades (não pode ser a mesma do A e do B)
Para o D são 2 possibilidades (não pode ser a mesma do A e do C)
Para o E são 2 possibilidades (não pode ser a mesma do B, C e D)
Para o F são 4 possibilidades (não pode ser a mesma do E)

Total = 5*4*3*2*2*4 = 960

Total: 1680

Será que este raciocínio está furado???

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Análise combinatória - (cubo de papelão) Empty Re: Análise combinatória - (cubo de papelão)

Mensagem por Válter Alves Batalha Sáb 21 Nov 2015, 17:54

A resposta para essa questão é 2880. (5x4^2x3^2x2)x2.

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Análise combinatória - (cubo de papelão) Empty Re: Análise combinatória - (cubo de papelão)

Mensagem por Elcioschin Sáb 21 Nov 2015, 19:18

A questão é bem mais complexa, pois há que se considerar a ordem da pintura de cada quadrado.

Importante: Depois de pintar A somente se pode pintar B ou D (duas possibilidades). Isto acontece porque, se pintarmos A ---> C e depois pintarmos B (por exemplo) logo em seguida, nunca conseguiríamos pintar D, pois ficaríamos presos lá

O mesmo acontece se depois de B ou D pintarmos C ---> Nunca conseguiríamos pintar D ou B

Assim vamos ver as duas possibilidade, mostrando o caminho e a quantidade de cores possíveis em cada quadrado:

A(5) ---> B(4) ---> C(3) ---> D(3) ---> E(2) ---> F(4) ---> n = 5.4.3.3.2.4 ---> n = 1 440

A(5) ---> D(4) ---> C(3) ---> B(3) ---> E(2) ---> F(4) ---> n = 5.4.3.3.2.4 ---> n = 1 440

Total de possibilidades = 1 400 + 1440 = 2 880


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Análise combinatória - (cubo de papelão) Empty Re: Análise combinatória - (cubo de papelão)

Mensagem por matheuscrj16 Qui 16 Abr 2020, 21:17

Elcioschin escreveu:A questão é bem mais complexa, pois há que se considerar a ordem da pintura de cada quadrado.

Importante: Depois de pintar A somente se pode pintar B ou D (duas possibilidades). Isto acontece porque, se pintarmos A ---> C e depois pintarmos B (por exemplo) logo em seguida, nunca conseguiríamos pintar D, pois ficaríamos presos lá

O mesmo acontece se depois de B ou D pintarmos C ---> Nunca conseguiríamos pintar D ou  B

Assim vamos ver as duas possibilidade, mostrando o caminho e a quantidade de cores possíveis em cada quadrado:

A(5) ---> B(4) ---> C(3) ---> D(3) ---> E(2) ---> F(4) ---> n = 5.4.3.3.2.4 ---> n = 1 440

A(5) ---> D(4) ---> C(3) ---> B(3) ---> E(2) ---> F(4) ---> n = 5.4.3.3.2.4 ---> n = 1 440

Total de possibilidades = 1 400 + 1440 = 2 880


Algo me incomoda nesse desenvolvimento e no enunciado da questão como um todo:

Quando o enunciado fala "de quantos modos pode ser pintada a cruz" , a mim fica em aberto se o enunciado se refere:
→ A ordem de ir pintando os quadrados (como na resposta na citação do colega Elcioschinque marquei acima) - o que permitiria a cruz ser pintada de duas formas idênticas, só por considerar trajetos diferentes: ABCDEF ou ADCBEF
Ex:
A - vermelho ; B - azul ; C - verde ; D - amarelo ; E - roxo ; F - azul
ou
A - vermelho ; D - amarelo ; C - verde ; B - azul; E - roxo ; F - azul ( o que é exatamente a mesma cruz acima, só que começando por uma ordem diferente)

→ A não se preocupar com a ordem em que eles foram pintados e sim ao que seria "normal" em questões de análise - contar a possibilidade de cores diferentes na cruz, uma vez que quadrados ligados por lado ou vértice não possam ter cores iguais.

Quando o enunciado cita (a pintura é iniciada pela cabeça da cruz) , me leva a crer que é a primeira opção - considerando a ordem como prioridade. Mas ainda assim encontro um incômodo: logo mais cedo, a questão diz "...se dois quadrados ligados por um vértice ou por um lado não podem ter a mesma cor"
Ora, existe a possibilidade dos quadrados B e D serem iguais, como assinalou o colega  profpastel acima, chegando ao resultado 1680 para cada ordem.

Bom, a minha conclusão é: uma vez que a questão se importa no caminho seguido e ignora que isso produzirá cruzes iguais, apenas por ter seguido uma ordem de pintura diferente, e ainda assim o quadrado E precisa ter cores diferentes de BC e D , e considerando que B e D podem ter , eventualmente, cores iguais, então, a resposta seria 1680*2 =  3360 (que não é gabarito, segundo o colega Kongo  criador do tópico.
A contagem seria:
1 - enumerar ABCDEF , considerando B e D iguais
2 - enumerar ABCDEF, considerando B e D diferentes
3 - enumerar ADCBEF, considerando B e D iguais (ainda que cores sejam repetidas com a 1º ação)
4 - enumerar ADCBEF, considerando B e D diferentes (ainda que as cores sejam repetidas com a 2º ação)

Acredito eu que o elaborador da questão tenha tido uma ideia diferente que não foi bem aplicada na redação. Mas, obviamente, eu posso ter deixado algum detalhe escapar e o erro de interpretação ser meu. Abraços!!

matheuscrj16
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