Prova em Mutirão:Simulado IME Matemática.

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Mensagem por Leo Consoli em Ter 19 Fev 2019, 19:12

Relembrando a primeira mensagem :

Link:https://drive.google.com/file/d/1NN6EcFNDuHvLlst-Gy9GIlIj2AvlebfE/view
O John Carter enviou aqui no fórum alguns simulados do IME/ITA e algumas listas, um dos simulados de matemática não tem gabarito então achei uma boa solucionar ele.
1. Resolvida por Leo Consoli
2. Resolvida por Thanos
3. Resolvida por Leo Consoli
4. Resolvida por Matheus Tsilva
5. Resolvida por Giovana Martins
6. Resolvida por fantecele88
7. Resolvida por Giovana Martins
8. Resolvida por Leo Consoli
9. Resolvida por Giovana Martins
10. Resolvida por fantecele88
Vou abrir fazendo a questão 1:
Prove que a soma
1^k+2^k+3^k+....+n^k
em que n é um inteiro qualquer e k é impar, é divisível por 1+2+3+...+n.
A questão cometeu o erro de não especificar que k tem que ser inteiro e positivo, pois para inteiros negativos ou números fracionários isso não é mais verdade.
Devemos provar que sempre existe um numero (w) que multiplicado por 1+2+3+...+n resulte em 1^k+2^k+3^k...+n^k, já que o resto da divisão é zero.
Sendo k um numero impar podemos escreve-lo na forma k=2x+1, sendo x um numero natural qualquer.
Por indução se o resultado valer para x=0 e para x=1 valera para todo k tal que k seja impar.
Para x=0 é automático que o valor w é igual a 1.
Para x=1, temos que provar que existe um valor que multiplicado por uma soma de termos, resulte na soma de seus cubos.
Porem sabemos que:
\\\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\wedge \sum_{k=1}^{n}k^3=\left [\frac{n(n+1)}{2}  \right ]^2
Substituindo esses valores:
\left [\frac{n(n+1)}{2}  \right ]^2=w\times\frac{n(n+1)}{2}  \rightarrow w=\frac{n(n+1)}{2}
Logo para outros valores de x o resultado se mantem.


Última edição por Leo Consoli em Qui 21 Fev 2019, 17:35, editado 8 vez(es)
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Mensagem por Giovana Martins em Sex 22 Fev 2019, 20:48

Vou tentar fazer alguma coisa a partir da sua imagem. Vamos ver se sai alguma coisa Smile.

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Mensagem por Giovana Martins em Seg 15 Jul 2019, 15:04

Uma resolução alternativa para a questão 7.

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Fonte: eu tirei esta resolução do livro Course in Mathematics for ITT-JEE 2012.

A propósito, ninguém sabe resolver a questão 4?

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Mensagem por Matheus Tsilva em Seg 15 Jul 2019, 17:21

alguém confere ai fazendo favor haha

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Mensagem por vitorrochap2013 em Seg 15 Jul 2019, 20:38

[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] escreveu:alguém confere ai fazendo favor haha
Acredito que você aplicou errado o T. de menelaus no triângulo OPK. O correto seria: [a/(a-b)]*[(a-b)/(tgα*BK)]*[BK*senα/acosα] = 1. Disso, "conclui-se" que 1=1. Isso aconteceu pq você aplicou duas vezes o teorema no mesmo triângulo, acabou fazendo a msm conta.
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Mensagem por vitorrochap2013 em Seg 15 Jul 2019, 20:51

Uma outra possível solução para a questão indiana:

Se | z³ + 1/z³ | ≤ 2 → z³ = cisθ. Notemos:

| cisθ + 1/cisθ | = | cisθ + cis-θ | = 2|cosθ| ≤ 2

Logo, | z + 1/z | = | cisθ/3 + cis-θ/3 | =  2|cosθ/3| ≤ 2.


Última edição por vitorrochap2013 em Seg 15 Jul 2019, 21:34, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Matheus Tsilva em Seg 15 Jul 2019, 21:10

Vdd
Acho que em vez de b seria a-b
Vlw
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Mensagem por Matheus Tsilva em Seg 15 Jul 2019, 21:11

Pq na 7 vc disse que |z|=1 ?
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Mensagem por vitorrochap2013 em Seg 15 Jul 2019, 21:39

[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] escreveu:Pq na 7 vc disse que |z|=1 ?
 Fiz uma pequena mudança no meu comentário. hhaha
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Mensagem por Leo Consoli em Qui 18 Jul 2019, 12:57

Boa, finalmente alguém resolveu a 4.
A prova foi encerrada agora, parabéns e obrigado a todos que participaram.
(Por algum motivo não consigo editar a postagem original para marcar como resolvida, talvez seja devido ao tempo da postagem, de qualquer forma, considerem resolvida).
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Mensagem por Giovana Martins em Qui 18 Jul 2019, 18:17

"(Por algum motivo não consigo editar a postagem original para marcar como resolvida, talvez seja devido ao tempo da postagem, de qualquer forma, considerem resolvida)."

Exato.

Postagem editada.

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