Bonjorno Vol 1 Pg 19 N°19

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Mensagem por jvdeiro em Ter 19 Fev 2019, 10:39

No triângulo ABC, MN // BC e AD é a bissetriz interna do ângulo Â.
Determine:

a) As medidas a, b e c indicadas na figura.
b) O perímetro do triângulo AMN
c) O perímetro do triângulo ABC


Respostas:

a) a = 18, b = 6 e c = 12
b) 45
c) 60

Consegui encontrar os segmentos a e c, mas não sei o que fazer depois disso.

jvdeiro
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Re: Bonjorno Vol 1 Pg 19 N°19

Mensagem por Giovana Martins em Ter 19 Fev 2019, 10:53

Seja Q o ponto de intersecção dos segmentos AD e MN.

Teorema da Bissetriz interna:

\\\frac{MQ}{AM}=\frac{NQ}{AN}\to \frac{9}{a}=\frac{b}{12}\to ab=108\ (1)\\\\\frac{BD}{AB}=\tfrac{CD}{AC}\to \frac{c}{a+6}=\frac{8}{16}\to 2c=a+6\ (2)

Como MN // BC: m(∠ABC)≡m(∠AMN) e m(∠ACB)≡m(ANM). Portanto, pelo critério A.A.A., ∆ABC~∆AMN. Daí, vem:

\frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AN}\to \frac{c+8}{b+9}=\frac{16}{12}\to 3c=4b+12\ (3)

De (1), (2) e (3): a=18, b=6 e c=12.

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Re: Bonjorno Vol 1 Pg 19 N°19

Mensagem por Medeiros em Qua 20 Fev 2019, 02:26

Outro modo.

MN//BC e AB concorrente com AC -----> teorema de Tales -----> a/12 = 6/4 ---> a = 18

seja Q a intersecção entre MN e AD.

triâng ABC ~ triâng AMQ -----> c/9 = (6+18)/18 -----> c = 12

triâng ANQ ~ triâng ACD ----> b/8 = 12/(12+4) -----> b = 6
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Re: Bonjorno Vol 1 Pg 19 N°19

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