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Equação trigonométrica

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Resolvido Equação trigonométrica

Mensagem por marcosprb Seg 11 Fev 2019, 22:06

Resolva a equação cos3x=1/3 para o conjunto universo [0,2pi]
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Resolvido Re: Equação trigonométrica

Mensagem por Leo Consoli Seg 11 Fev 2019, 23:21

Equação trigonométrica Gif
Isso é uma forma bem conhecida de expressar cosseno de 3x em função de cosseno de x.
As soluções são as raízes da ultima equação, tem alguns métodos pra achar essas raízes.
Deve ter uma solução mais simples mais no momento não vejo nenhuma.
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Resolvido Re: Equação trigonométrica

Mensagem por Leo Consoli Seg 11 Fev 2019, 23:22

Na ultima equação o 1 ta com o sinal invertido, to errando demais nesse latex...
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Resolvido Re: Equação trigonométrica

Mensagem por marcosprb Ter 12 Fev 2019, 00:17

Bem, o gabarito é o seguinte:

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Resolvido Re: Equação trigonométrica

Mensagem por Leo Consoli Ter 12 Fev 2019, 00:30

Ah, se for assim fica mais simples:
\\
cos(3x)=\frac{1}{3}\\
3x=arcos(\frac{1}{3})+2\pi k\\
x=\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})+\frac{2\pi k}{3}\\
3x=2\pi -arccos(\frac{1}{3})+2\pi k\\
x=\frac{2\pi}{3}-\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})+\frac{2\pi k}{3}

So ir substituindo os valores de k para o intervalo da questão.
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Resolvido Re: Equação trigonométrica

Mensagem por marcosprb Ter 12 Fev 2019, 01:09

Leo Consoli escreveu:Ah, se for assim fica mais simples:
\\
cos(3x)=\frac{1}{3}\\
3x=arcos(\frac{1}{3})+2\pi k\\
x=\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})+\frac{2\pi k}{3}\\
3x=2\pi -arccos(\frac{1}{3})+2\pi k\\
x=\frac{2\pi}{3}-\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})+\frac{2\pi k}{3}

So ir substituindo os valores de k para o intervalo da questão.
Obrigado, Leo.
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Resolvido Re: Equação trigonométrica

Mensagem por marcosprb Dom 02 Fev 2020, 17:43

Estou revisitando essa questão e ainda tenho uma dúvida:

No universo [0,2pi] o livro que utilizo (aref 3) define uma solução ''padrão'' para resolver equações do tipo cosx=a (me parece ser uma equação bem razoável)
Equação trigonométrica Cos_pa10

Agora, percebam que se eu aplicar essa fórmula na questão acima, não irei chegar no gabarito.
cos3x=1/3\rightarrow 3x=arccos(\frac{1}{3});2\pi -arccos(\frac{1}{3})\therefore \\\\ x=\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3});\frac{2\pi }{3}-\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})

O que eu gostaria de saber é por que a aplicação dessa fórmula não funciona no caso dessa questão.
Já ouvi algumas pessoas dizerem que não funciona porque 1/3 não é um arco notável, entretando, o item b dessa mesma questão apresenta a seguinte equação:
cosx=\frac{-1}{3}


e a solução ( que está no gabarito) é exatamente a aplicação direta da fórmula que postei na imagem acima.
x=arccos(-\frac{}1{3});2\pi -arccos(\frac{-1}{3})
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Resolvido Re: Equação trigonométrica

Mensagem por marcosprb Dom 02 Fev 2020, 17:57

Caso aplicasse a solução geral (para o conjunto universo nos reais) da equação do tipo cosx=a, da maneira que o colega Leo Consoli fez, substituindo valores de ''k'' iria chegar no gabarito.
Entretanto, pra mim não é intuitivo ter que usar a fórmula do universo real para resolver uma questão que está no universo [0,2pi]
Equação trigonométrica Cos_pr10



(Me desculpem se foi prolixo, mas é que é um pouco difícil explicar essa dúvida, já que a maioria das pessoas estudou trigonometria pelo FME, que não apresenta a fórmula pra [0,2pi])
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Resolvido Re: Equação trigonométrica

Mensagem por Giovana Martins Seg 03 Fev 2020, 00:59

Ao meu ver só faltou generalizar. Do jeito que foi apresentado no livro você acaba não pegando todos os arcos côngruos. Veja:

\\\underline{S=\left \{ arccos(a)+2k\pi,2\pi -arccos(a)+2k\pi,k\in \mathbb{Z} \right \}}\\\\cos(3x)=\frac{1}{3}\to x=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right )+\frac{2}{3}k\pi\\
\frac{2}{3}\pi -\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})+\frac{2}{3}k\pi
\end{matrix}\right.,k\in\mathbb{Z}\\\\k=0\to x=\left \{ \frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right ),\frac{2\pi}{3} -\frac{1}{3}arccos\left (\frac{1}{3}  \right ) \right \}\\\\k=1\to x=\left \{ \frac{2\pi }{3}+\frac{1}{3}arccos\left (\frac{1}{3}   \right ),\frac{4\pi }{3}-\frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right )\right \}\\\\k=2\to x=\left \{ \frac{4\pi }{3}+\frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right ),2\pi-\frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right ) \right \}


Respondi a sua dúvida? Caso eu tenha interpretado mal, é só me avisar que eu tento melhorar a resposta.

Nota: naturalmente, devido ao argumento "3x", a solução geral sublinhada ficou ligeiramente alterada.
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Resolvido Re: Equação trigonométrica

Mensagem por marcosprb Seg 03 Fev 2020, 13:58

Muito interessante a solução dessa maneira, Giovana!
Finalmente consegui entender essa questão.
Realmente, o ''3x'' altera a maneira que de se analisar os arcos que são solução.
Deixo apenas uma observação: Já que o universo é [0;2pi], o ''k'' dos arcos côngruos não deveria pertencer aos naturais?

Muito obrigado!!!
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