Equação trigonométrica
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Equação trigonométrica
Resolva a equação cos3x=1/3 para o conjunto universo [0,2pi]
marcosprb- Mestre Jedi
- Mensagens : 825
Data de inscrição : 08/05/2017
Re: Equação trigonométrica
Isso é uma forma bem conhecida de expressar cosseno de 3x em função de cosseno de x.
As soluções são as raízes da ultima equação, tem alguns métodos pra achar essas raízes.
Deve ter uma solução mais simples mais no momento não vejo nenhuma.
Leo Consoli- Fera
- Mensagens : 383
Data de inscrição : 03/08/2017
Idade : 23
Localização : Salvador, Bahia, Brasil
Re: Equação trigonométrica
Na ultima equação o 1 ta com o sinal invertido, to errando demais nesse latex...
Leo Consoli- Fera
- Mensagens : 383
Data de inscrição : 03/08/2017
Idade : 23
Localização : Salvador, Bahia, Brasil
Re: Equação trigonométrica
Ah, se for assim fica mais simples:
\\
cos(3x)=\frac{1}{3}\\
3x=arcos(\frac{1}{3})+2\pi k\\
x=\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})+\frac{2\pi k}{3}\\
3x=2\pi -arccos(\frac{1}{3})+2\pi k\\
x=\frac{2\pi}{3}-\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})+\frac{2\pi k}{3}
So ir substituindo os valores de k para o intervalo da questão.
cos(3x)=\frac{1}{3}\\
3x=arcos(\frac{1}{3})+2\pi k\\
x=\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})+\frac{2\pi k}{3}\\
3x=2\pi -arccos(\frac{1}{3})+2\pi k\\
x=\frac{2\pi}{3}-\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})+\frac{2\pi k}{3}
So ir substituindo os valores de k para o intervalo da questão.
Leo Consoli- Fera
- Mensagens : 383
Data de inscrição : 03/08/2017
Idade : 23
Localização : Salvador, Bahia, Brasil
Re: Equação trigonométrica
Obrigado, Leo.Leo Consoli escreveu:Ah, se for assim fica mais simples:\\
cos(3x)=\frac{1}{3}\\
3x=arcos(\frac{1}{3})+2\pi k\\
x=\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})+\frac{2\pi k}{3}\\
3x=2\pi -arccos(\frac{1}{3})+2\pi k\\
x=\frac{2\pi}{3}-\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})+\frac{2\pi k}{3}
So ir substituindo os valores de k para o intervalo da questão.
marcosprb- Mestre Jedi
- Mensagens : 825
Data de inscrição : 08/05/2017
Re: Equação trigonométrica
Estou revisitando essa questão e ainda tenho uma dúvida:
No universo [0,2pi] o livro que utilizo (aref 3) define uma solução ''padrão'' para resolver equações do tipo cosx=a (me parece ser uma equação bem razoável)
Agora, percebam que se eu aplicar essa fórmula na questão acima, não irei chegar no gabarito.
cos3x=1/3\rightarrow 3x=arccos(\frac{1}{3});2\pi -arccos(\frac{1}{3})\therefore \\\\ x=\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3});\frac{2\pi }{3}-\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})
O que eu gostaria de saber é por que a aplicação dessa fórmula não funciona no caso dessa questão.
Já ouvi algumas pessoas dizerem que não funciona porque 1/3 não é um arco notável, entretando, o item b dessa mesma questão apresenta a seguinte equação:
cosx=\frac{-1}{3}
e a solução ( que está no gabarito) é exatamente a aplicação direta da fórmula que postei na imagem acima.
x=arccos(-\frac{}1{3});2\pi -arccos(\frac{-1}{3})
No universo [0,2pi] o livro que utilizo (aref 3) define uma solução ''padrão'' para resolver equações do tipo cosx=a (me parece ser uma equação bem razoável)
Agora, percebam que se eu aplicar essa fórmula na questão acima, não irei chegar no gabarito.
O que eu gostaria de saber é por que a aplicação dessa fórmula não funciona no caso dessa questão.
Já ouvi algumas pessoas dizerem que não funciona porque 1/3 não é um arco notável, entretando, o item b dessa mesma questão apresenta a seguinte equação:
e a solução ( que está no gabarito) é exatamente a aplicação direta da fórmula que postei na imagem acima.
marcosprb- Mestre Jedi
- Mensagens : 825
Data de inscrição : 08/05/2017
Re: Equação trigonométrica
Caso aplicasse a solução geral (para o conjunto universo nos reais) da equação do tipo cosx=a, da maneira que o colega Leo Consoli fez, substituindo valores de ''k'' iria chegar no gabarito.
Entretanto, pra mim não é intuitivo ter que usar a fórmula do universo real para resolver uma questão que está no universo [0,2pi]
(Me desculpem se foi prolixo, mas é que é um pouco difícil explicar essa dúvida, já que a maioria das pessoas estudou trigonometria pelo FME, que não apresenta a fórmula pra [0,2pi])
Entretanto, pra mim não é intuitivo ter que usar a fórmula do universo real para resolver uma questão que está no universo [0,2pi]
(Me desculpem se foi prolixo, mas é que é um pouco difícil explicar essa dúvida, já que a maioria das pessoas estudou trigonometria pelo FME, que não apresenta a fórmula pra [0,2pi])
marcosprb- Mestre Jedi
- Mensagens : 825
Data de inscrição : 08/05/2017
Re: Equação trigonométrica
Ao meu ver só faltou generalizar. Do jeito que foi apresentado no livro você acaba não pegando todos os arcos côngruos. Veja:
\\\underline{S=\left \{ arccos(a)+2k\pi,2\pi -arccos(a)+2k\pi,k\in \mathbb{Z} \right \}}\\\\cos(3x)=\frac{1}{3}\to x=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right )+\frac{2}{3}k\pi\\
\frac{2}{3}\pi -\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})+\frac{2}{3}k\pi
\end{matrix}\right.,k\in\mathbb{Z}\\\\k=0\to x=\left \{ \frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right ),\frac{2\pi}{3} -\frac{1}{3}arccos\left (\frac{1}{3} \right ) \right \}\\\\k=1\to x=\left \{ \frac{2\pi }{3}+\frac{1}{3}arccos\left (\frac{1}{3} \right ),\frac{4\pi }{3}-\frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right )\right \}\\\\k=2\to x=\left \{ \frac{4\pi }{3}+\frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right ),2\pi-\frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right ) \right \}
Respondi a sua dúvida? Caso eu tenha interpretado mal, é só me avisar que eu tento melhorar a resposta.
Nota: naturalmente, devido ao argumento "3x", a solução geral sublinhada ficou ligeiramente alterada.
\frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right )+\frac{2}{3}k\pi\\
\frac{2}{3}\pi -\frac{1}{3}arccos(\frac{1}{3})+\frac{2}{3}k\pi
\end{matrix}\right.,k\in\mathbb{Z}\\\\k=0\to x=\left \{ \frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right ),\frac{2\pi}{3} -\frac{1}{3}arccos\left (\frac{1}{3} \right ) \right \}\\\\k=1\to x=\left \{ \frac{2\pi }{3}+\frac{1}{3}arccos\left (\frac{1}{3} \right ),\frac{4\pi }{3}-\frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right )\right \}\\\\k=2\to x=\left \{ \frac{4\pi }{3}+\frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right ),2\pi-\frac{1}{3}arccos\left ( \frac{1}{3} \right ) \right \}
Respondi a sua dúvida? Caso eu tenha interpretado mal, é só me avisar que eu tento melhorar a resposta.
Nota: naturalmente, devido ao argumento "3x", a solução geral sublinhada ficou ligeiramente alterada.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7513
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Equação trigonométrica
Muito interessante a solução dessa maneira, Giovana!
Finalmente consegui entender essa questão.
Realmente, o ''3x'' altera a maneira que de se analisar os arcos que são solução.
Deixo apenas uma observação: Já que o universo é [0;2pi], o ''k'' dos arcos côngruos não deveria pertencer aos naturais?
Muito obrigado!!!
Finalmente consegui entender essa questão.
Realmente, o ''3x'' altera a maneira que de se analisar os arcos que são solução.
Deixo apenas uma observação: Já que o universo é [0;2pi], o ''k'' dos arcos côngruos não deveria pertencer aos naturais?
Muito obrigado!!!
marcosprb- Mestre Jedi
- Mensagens : 825
Data de inscrição : 08/05/2017
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