Geometria triângulos

São dados os triângulos AJL , BJL e CJL, tais que (AJ/AL)=(BJ/BL)=(CJ/CL)=(3/2) . Considere o circuncentro "O" do triângulo ABC e calcule o valor da razão (OJ/OL).

OJ/OL = 9/4 .......... (se minha cabeça não estiver variando)

Tô no celular, no ônibus. Quando chegar em casa eu resolvo explicadinho.

Medeiros escreveu:OJ/OL = 9/4 .......... (se minha cabeça não estiver variando)

Tô no celular. Quando chegar em casa eu resolvo explicadinho.

Ok , obrigado.

Enviado pelo Topic'it

São dados os triângulos AJL , BJL e CJL, tais que (AJ/AL)=(BJ/BL)=(CJ/CL)=(3/2) . Considere o circuncentro "O" do triângulo ABC e calcule o valor da razão (OJ/OL).

O único segmento fixo que já temos como um dado real é o segmento JL; vamos então coloca-lo sobre uma reta suporte r. E sabemos que existem três pontos A, B e C tais que:
\\\frac{\; \overline{AJ}\;}{\overline{AL}}=\frac{\; \overline{BJ}\;}{\overline{BL}}=\frac{\; \overline{CJ}\;}{\overline{CL}}=\frac{\;3\;}{2}={\color{Red}\mathbf{k}} . Chamemos de k a essa razão.

Suponha que existe um ponto P que divide JL na razão k=3/2. E suponha que existe uma circunferência de centro O, sobe a reta suporte r, e raio R=OP tal que qualquer ponto Pi da circunferência atende a razão PiJ/PiL = k. Esta é a circunferência de Apolônio, para a qual o raio R e a posição do centro O é dada por:
onde a é a medida do segmento JL.
Pesquise na web por "circunferência de Apolônio" para ver a dedução destas fórmulas.



Para o nosso problema não importa onde estão exatamente os pontos A, B e C, importa apenas que estão em qualquer lugar sobre a circunferência de Apolônio -- exceto os dois pontos P e P' alinhados com JL porque estes não formam triângulo com JL . Logo o triângulo ABC está inscrito nessa circunferência.
Nota: o desenho que fiz está bem proporcional.

O que nos interessa é a pedida razão OJ/OL.
Poderíamos, como fiz da primeira vez (de bobo), calcular OJ, depois calcular OL = JO - JL = JO - a, e finalmente a razão pedida OJ/OL. Porém, mais elegantemente, podemos "morder" direto o que queremos:
\\\frac{\;OJ\;}{OL}=\frac{a\cdot\frac{k^2}{\;k^2-1\;}}{\;a\cdot\frac{k^2}{\;k^2-1\;}-a\;}=\frac{\cancel{a}\cdot\frac{k^2}{\;k^2-1\;}}{\;\cancel{a}\cdot\left (\frac{k^2}{\;k^2-1\;}-1  \right )\;}=\frac{\frac{k^2}{\;k^2-1\;}}{\;\frac{\;\cancel{k^2}-\cancel{k^2}+1\;}{k^2-1\;}}\\\\
\frac{\;OJ\;}{OL}=\frac{\frac{k^2}{\;\cancel{k^2-1}\;}}{\;\frac{1}{\;\cancel{k^2-1}\;}} \to \boxed{\;\;\frac{\;OJ\;}{OL}=k^2\;\;}

Portanto, nesta questão
\\\frac{\;OJ\;}{OL}=\left(\frac{\;3\;}{2} \right )^2=\frac{\;9\;}{4}

Muito Obrigado.

Medeiros escreveu:
Portanto, nesta questão
\\\frac{\;OJ\;}{OL}=\left(\frac{\;3\;}{2} \right )^2=\frac{\;9\;}{4}

Muito bom!

Obrigado, Mateus.

Por acaso alguém tem o link com a demonstração das fórmulas ou poderia demonstrar aqui? Não estou encontrando na net :/

Paulino

há muito tempo estudei esse assunto pela Internet e nem lembro mais onde foi que achei isso. Mas dando uma rápida busca agora encontrei esta demonstração do link abaixo (que não é onde tinha visto anteriormente):
https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=3&t=43389&sid=52c6b62d0501b5d6cd465b4cf915105a
note que onde se usa a terminologia P1P2, na minha mensagem uso simplificadamente "a" para a medida desse segmento; no resto é a mesma fórmula.

Veja também uma outra aplicação: https://pir2.forumeiros.com/t86876-circulos-de-apolonio

Brigadão, Medeiros. Tô com muito sono, então amanhã vejo com mais calma a demonstração. Valeu mesmo