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Progressao aritmetica

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Mensagem por Maria Manzoni da Silveira Seg 11 Fev 2019, 02:33

Verifique se os números V2, V3, V8 podem ser termos de uma PA.

Se alguém puder me mandar a resolução dessa questão.

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Mensagem por Elcioschin Seg 11 Fev 2019, 07:48

√2, √3, √8

Se for PA ---> √3 - √2 = √8 - √3 ---> 2.√3 = √2 + √8 ---> (2.√3)² = (√2 + √Cool² --->

12 = 10 + 2.√2.√8 ---> 2 = 2√16 ---> 2 = 8 ---> Falso: Não é PA
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Mensagem por Mateus Meireles Seg 11 Fev 2019, 09:46

Olá, Maria

O Élcio mostrou que esses 3 termos não podem ser termos consecutivos de uma PA. Mostrarei que não podem ser todos termos de uma PA independente da ordem de relação entre eles.

Por contradição, suponha que a_m = \sqrt{2}, \quad a_n= \sqrt{3} \quad \text{e} \quad a_p = \sqrt{8} onde (ak)k ≥ 1 é uma PA e m, \quad n \quad \text{e} \quad p são naturais dois a dois distintos.

Usando a fórmula do termo geral, temos

a_m = a_1 + (m-1)r = \sqrt2 \quad \Rightarrow \quad m = \frac{\sqrt{2} - a_1 + r}{r}

a_n = a_1 + (n-1)r = \sqrt3 \quad \Rightarrow \quad n = \frac{\sqrt{3} - a_1 + r}{r}

a_p = a_1 + (p-1)r = \sqrt8 \quad \Rightarrow \quad p = \frac{\sqrt{8} - a_1 + r}{r}

Vamos calcular, agora,  \frac{n - m}{p - m}

\frac{[\sqrt{3} - a_1 + r - (\sqrt{2} - a_1 + r )]/r }{[\sqrt{8} - a_1 + r - (\sqrt{2} - a_1 + r)]/r } = \frac{\sqrt{3} -\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6} - 2

O que é um absurdo, pois m, \quad n \quad \text{e} \quad p \in \mathbb{N}

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