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Mensagem por Alexandrino74 em Qui 07 Fev 2019, 07:04

2(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-(\sqrt{x}+\sqrt{y})-45=0 e xy(\sqrt{xy})=36 onde x e y são positivos, podemos afirmar que x + y é igual a: 
A) 86 
B) 87 
C) 88
D) 89 
E) 90

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Mensagem por Mateus Meireles em Qui 07 Fev 2019, 09:03

Olá, Alexandre

Você colocou essa questão apenas para confirmar que o gabarito está com falha, né?

Notando que nós temos uma equação do segundo grau em função de ( √x +  √y ), basta aplicarmos Bhaskara

2(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-(\sqrt{x}+\sqrt{y})-45 = 0

\Delta = (-1)^2 - 4.2.(-45) = 361

De onde tiramos que as raízes são

\sqrt{x}+\sqrt{y} = \frac{1 \pm 19}{4}

Ou seja,

\left(\sqrt x + \sqrt y - 5 \right)\left( 2\sqrt x +2\sqrt y + 9 \right ) = 0

Como x e y são reais, temos

\sqrt x + \sqrt y - 5  = 0 \iff \sqrt x + \sqrt y = 5

Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado e usando que xy = 36, obtemos

x + y = 25 - 12\,\,\, \Rightarrow \,\,\, x+ y = 13

--------------------------------------------------------------

Você pode usar xy(\sqrt{xy})=36\,\,\, \Rightarrow \,\,\, xy = 6\sqrt[3]{6} , mas vai gerar um resultado bem feio. Acredito que a ideia da questão seja outra.

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Mensagem por Alexandrino74 em Ter 12 Mar 2019, 12:24

@Mateus Meireles escreveu:Olá, Alexandre

Você colocou essa questão apenas para confirmar que o gabarito está com falha, né?

Notando que nós temos uma equação do segundo grau em função de ( √x +  √y ), basta aplicarmos Bhaskara

2(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-(\sqrt{x}+\sqrt{y})-45 = 0

\Delta = (-1)^2 - 4.2.(-45) = 361

De onde tiramos que as raízes são

\sqrt{x}+\sqrt{y} = \frac{1 \pm 19}{4}

Ou seja,

\left(\sqrt x + \sqrt y - 5 \right)\left( 2\sqrt x +2\sqrt y + 9 \right ) = 0

Como x e y são reais, temos

\sqrt x + \sqrt y - 5  = 0 \iff \sqrt x + \sqrt y = 5

Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado e usando que xy = 36, obtemos

x + y = 25 - 12\,\,\, \Rightarrow \,\,\, x+ y = 13

--------------------------------------------------------------

Você pode usar xy(\sqrt{xy})=36\,\,\, \Rightarrow \,\,\, xy = 6\sqrt[3]{6} , mas vai gerar um resultado bem feio. Acredito que a ideia da questão seja outra.

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