Cálculo II: Questão de Reparametrização

por José Discher Qui 31 Jan 2019, 17:55

Acredito que a questão seja de reparametrização um vez que se encontra no capítulo 7.7 do livro Guidorizzi.

Seja γ: I → ℝ uma curva derivável até a 2º ordem, com \left \| \gamma '(t) \right \|\neq 0 no Intervalo I.

Seja s=\int_{t_0}^{t}\left \| \gamma '(u).du \right \| com t_0 fixo em I. Sejam, ainda, \vec{T}(t)=\frac{\gamma '(t)}{\left \| \gamma '(t) \right \|} o versor de \gamma '(t) e \vec{t}(s) dada por \vec{t}(s)=\vec{T}(t), onde t=t(s).

Moste que:

a)\frac{d\vec{T}}{dt}(t)=\frac{\gamma ''(t).\left \| \gamma '(t) \right \|^{2}-\gamma '(t)(\gamma ''(t)\cdot \gamma '(t) )}{\left \| \gamma '(t) \right \|^{3}}, onde t=t(s).

b)\frac{d\vec{t}}{ds}(s)=\frac{\gamma ''(t).\left \| \gamma '(t) \right \|^{2}-\gamma '(t)(\gamma ''(t)\cdot \gamma '(t) )}{\left \| \gamma '(t) \right \|^{4}}, onde t=t(s).

c)\left \| \frac{d\vec{t}}{ds}(s) \right \|=\sqrt{\frac{d\vec{t}}{ds}(s)\cdot \frac{d\vec{t}}{ds}(s)}=\frac{\sqrt{(\left \| \gamma ''(t) \right \|\left \| \gamma '(t) \right \|)^{2}-(\gamma ''(t)\cdot \gamma '(t))^{2}}}{\left \| \gamma '(t) \right \|^{3}}, onde t=t(s).

Já consegui provar as afirmativas a) e b), no entanto não consigo provar a c).

Legenda:
\left \| \vec{v} \right \| = Módulo do vetor v.
\vec{a} \cdot \vec{b} = Produtor escalar entre os vetores a e b.

Cálculo II: Questão de Reparametrização

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