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Resolvido cálculo

Mensagem por deisearosa Ter 18 Dez 2018, 16:39

(IFRN) Seja uma função real definida por  f(x)=x(e^(2/x)-1). Sobre lim (x tende para infinito) f(x), é correto afirmar que:

(a) não existe
(b) existe e vale 1.
(c) existe e vale e^2
(d) existe e vale 2 (gabarito)

No consigo chegar ao resultado, podem me ajudar por favor!

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Mensagem por Giovana Martins Ter 18 Dez 2018, 17:03

A expressão é a que segue?

\lim_{x\to +\infty}x(e^{2x}-1)

Se for isso, acho que tem um erro, pois esse limite vai para o infinito.

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Resolvido Re: cálculo

Mensagem por deisearosa Ter 18 Dez 2018, 17:05

sim, tem um erro: e^(2/x)

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Resolvido Re: cálculo

Mensagem por Giovana Martins Ter 18 Dez 2018, 17:38

\\\lim_{x\to +\infty}x\left (e^{\frac{2}{x}}-1 \right )=\lim_{x\to +\infty}\left (xe^{\frac{2}{x}}-x \right )\\\\t=\frac{2}{x}\ \therefore \ se\ x\to +\infty,t\to 0\ \therefore \ x=\frac{2}{t}\\\\\lim_{x\to +\infty}\left (xe^{\frac{2}{x}}-x \right )=\lim_{t\to 0}\left [ \frac{2(e^t-1)}{t}\right ]=\frac{0}{0}\\\\\mathrm{Teo.\ de\ L'H\hat{o}pital:}\\\\\lim_{x\to +\infty}x\left (e^{\frac{2}{x}}-1 \right )=\lim_{t\to 0}\left (2e^t \right )=2e^0=\boxed {2}

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