Fluxo Elétrico - ELETROMAGNETISMO

Numa distribuição volumétrica de cargas com densidade volumétrica = (e^-2r)/r C/m^3 para 1≤r<2 . Calcule o fluxo total que deixa um cubo com centro no ponto (0;1;0) e arestas medindo 8m de comprimento

É dito que, para 1 <= r < 2, a densidade volumétrica de cargas vale:

\rho_r = \frac{e^{-2r}}{r} \ C/m^3

Essa informação não está completa. Vamos assumir que:

a) para outros valores de r, a densidade volumétrica é nula;

b) como é de praxe na literatura, r representa a distância a um ponto fixo; digamos (0; 0; 0) por simplicidade.

Com essas hipóteses, conhecemos a distribuição de carga em todo o espaço e compreendemos o significado de r. 

Perceba que a distribuição espacial de carga possui simetria radial, isto é, todos os pontos a uma mesma distância de (0; 0; 0) possuem mesmo ρ. Toda carga, então, está dentro de uma esfera oca, com raio interno r = 1 e raio externo r = 2.

Como o cubo é centrado em (0; 1; 0) e possui aresta 8, note também que toda a região carregada do espaço está dentro do cubo. Sendo assim, pela Lei de Gauss podemos afirmar que

\Phi_{cubo}=\frac{q_{interna}}{\epsilon_0}

Mas se toda a carga interna ao cubo pertence à distribuição esférica, podemos fazer:

q_{int}=\int_1^2 \frac{e^{-2r}}{r}dV

De maneira informal, mas intuitiva, podemos calcular o elemento infinitesimal de volume a uma distância r da origem como sendo a diferença entre os volumes de uma esfera de raio (r + dr) e o de uma esfera de raio r. Veja:

\\ dV=\frac{4}{3}\pi (r+dr)^3-\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi (r^3+(dr)^3+3rdr(r+dr)-r^3) \\\\
\Rightarrow dV =\frac{4}{3}\pi dr\left (  (dr)^2+3r(r+dr)\right )=\frac{4}{3}\pi dr(3r^2+3rdr+(dr)^2) \\\\
\Rightarrow dV \approx 4\pi r^2 dr

Portanto:

q_{int}=\int_1^2 \frac{e^{-2r}}{r}4\pi r^2dr=4\pi \int_1^2 \frac{r}{e^{2r}} \ dr

A integral acima pode ser resolvida utilizando integração por partes. Ficamos com o seguinte:

q_{int}=4\pi \int_1^2 \frac{r}{e^{2r}} \ dr = 4\pi \frac{3e^2-5}{4e^4}=\pi\frac{3e^2-5}{e^4} \approx 1 \ C

Finalmente, usando 8,85*10^-12 para a permissividade do vácuo (unidades SI):

\Phi_{cubo} = \frac{1}{8,85\times 10^{-12}}\approx \boxed{\text{1,13}\times 10^{11} \ Vm}