Cálculo diferencial e integral

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Cálculo diferencial e integral

Mensagem por Giovana Martins em Qui 13 Dez 2018, 00:47

Seja um reservatório cuja área da base equivale a 10 m² e tal que a vazão de entrada é constante e igual a 10 m³/h. A vazão de saída, por sua vez, equivale a 10H, em que H é a cota do nível da lâmina d'água em metros. Tendo em vista que a lâmina d'água encontra-se inicialmente na cota Hi=5 m, descubra o nível da lâmina d'água após 1 hora.

Achei esse exercício legal daí resolvi postar para quem quiser se divertir. Ele não é muito difícil, mas deve-se ter um raciocínio organizado para resolvê-lo. Em breve eu posto a resolução.

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Re: Cálculo diferencial e integral

Mensagem por Giovana Martins em Qui 13 Dez 2018, 21:46

Lá vai a resolução.

Como uma das vazões varia a cada instante de tempo, vamos trabalhar com variações infinitesimais de volume em cada variação infinitesimal de tempo. Essas variações instantâneas do volume no tempo correspondem a uma diferença entre as vazões de entrada e de saída. Passando essa ideia para uma linguagem matemática:

\\\frac{dV}{dt}=\Phi _e-\Phi _s\to \frac{dV}{dt}=10-10H

Pelos dados do problema, é fácil concluir que o volume de água no interior do reservatório é variável tendo em vista que as vazões de entrada e de saída são diferentes. Sendo assim, vamos trabalhar com a ideia de um volume infinitesimal:



\\dV=AdH

Voltando a trabalhar com a primeira equação diferencial que encontramos, podemos encontrar a altura solicitada pelo problema.

\\\mathrm{Para\ } A=10\ m^2:\ A\frac{dH}{dt}=10-10H\to \frac{dH}{1-H}=dt\\\\\int_{5}^{H(1)}\left ( \frac{1}{1-H} \right )dH=\int_{0}^{1}dt\to \boxed {H(1)=\frac{e+4}{e}\ m}

Nota¹: a espessura do segmento mais espesso equivale a dH.
Nota²: se houver alguma dúvida, avise-me. Obrigada a todos que tentaram resolver.

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