OBMEP - olimpíada

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Resolvido OBMEP - olimpíada

Mensagem por Gandalf_o_BRanco em Sex 07 Dez 2018, 20:25

Uma piscina com fundo e paredes retangulares está totalmente revestida com azulejos quadrados igual, todos inteiros. O fundo da piscina tem 231 azulejos e as quatro paredes tem um total de 1024 azulejos. Qual é, em número de azulejos, a profundidade da piscina? 

A) 15 
B ) 16 
C) 18 
D) 20 
E) 21 

R = B


Resolvi da seguinte forma: 1024/4 = 256

a² = 256



a = 16. 

Essa forma de fazer está certa? Se não estiver, qual é a forma de se resolver? Desde já agradeço!


Última edição por Gandalf_o_BRanco em Sex 07 Dez 2018, 22:26, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: OBMEP - olimpíada

Mensagem por Victor011 em Sex 07 Dez 2018, 21:29

Está errado.
Vamos considerar que o fundo tem dimensões "a"azulejos por "b"azulejos, e que a profundidade da piscina é de "p"azulejos. Usando que o total de azulejos do fundo é "a.b", e usando que o total de azulejos de uma das paredes é a base vezes a profundidade:

\\\begin{cases}a.b=231\\p.a+p.b+p.a+p.b=1024\end{cases}\rightarrow\begin{cases}a.b=231\\p.(a+b)=512\end{cases}

Note que "a" e "b" são divisores de 231. Os divisores de 231 são: 

{1,3,7,11,21,33,77,231}

Logo: (a,b)=(1,231),(3,77),(7,33) ou (11,21)

Porém, pela segunda equação anterior, (a+b) é divisor de 512. Logo, a única possibilidade é (a,b) = (11,21) e com isso (a+b) = 32. Substituindo na segunda equação:

32.p = 512

p = 16
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