Produtos Notáveis e Fatoração

por henriquecdb Sex 07 Dez 2018, 19:32

Se x>0 e x+\frac{1}{x}=5, calcule x^{5}+\frac{1}{x^{5}}=5.

a)2950
b)3050
c)3150
d)3250
e)4250

Não tenho o gabarito!

por **Mateus Meireles** Sex 07 Dez 2018, 20:01

Vou mostrar um caminho, existem vários.

i) Se a + b + c = 0 \ \rightarrow \ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

Ou seja,

x + \frac{1}{x} - 5 = 0 \ \rightarrow x^3 + \frac{1}{x^3} + (-5)^3 = 3\cdot x\cdot \frac{1}{x}(-5)

x^3 + \frac{1}{x^3} = 110

ii) Se x + \frac{1}{x} = 5 \ \rightarrow \ x^2 + \frac{1}{x^2} = 23

i) x ii):

\Big( x^3 + \frac{1}{x^3} \Big) \cdot \Big( x^2 + \frac{1}{x^2} \Big) = 2530

x^5 + \frac{1}{x^5} + x + \frac{1}{x} = 2530

x^5 + \frac{1}{x^5} = 2525

por **Victor011** Sex 07 Dez 2018, 20:07

Mateus Meireles, só uma curiosidade: existe uma fórmula que funciona como uma maquininha para esse tipo de questão:

\\x^n+\frac{1}{x^n}=(x+\frac{1}{x})(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}})-(x^{n-2}+\frac{1}{x^{n-2}})

por **Giovana Martins** Sex 07 Dez 2018, 20:09

Victor011 escreveu:Mateus Meireles, só uma curiosidade: existe uma fórmula que funciona como uma maquininha para esse tipo de questão:

\\x^n+\frac{1}{x^n}=(x+\frac{1}{x})(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}})-(x^{n-2}+\frac{1}{x^{n-2}})

Que legal, não sabia disso. Você sabe de algum lugar que apresenta a demonstração disso?

Obrigada por compartilhar a ideia!

por henriquecdb Sex 07 Dez 2018, 20:16

Boas, pessoal! Mateus, obrigado pela resolução, esclareceu onde errei. Infelizmente, as alternativas devem estar erradas...

Victor, muito bacana a fórmula, valeu! Se conseguir a demonstração...

por **Victor011** Sex 07 Dez 2018, 20:41

A demostração dessa fórmula é simplesmente fazer a distributiva do lado direito, mostrando que é igual ao lado esquerdo. A motivação parte do princípio de que se temos algo elevado a 1 e queremos esse algo com expoente "n", basta multiplicar por por esse algo elevado a "n-1". Veja:

\\(x+\frac{1}{x})(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}})=x^n+\frac{1}{x^{n-2}}+x^{n-2}+\frac{1}{x^{n}}\\\\x^n+\frac{1}{x^{n}}=(x+\frac{1}{x})(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}})-(x^{n-2}+\frac{1}{x^{n-2}})

Essa fórmula é boa porque tendo o x+\frac{1}{x} conseguimos descobrir o x^2+\frac{1}{x^2}. Tendo este agora, conseguimos descobrir o x^3+\frac{1}{x^3}, e assim por diante. Vamos descobrindo um por um, até chegar no expoente que a gente quer, por isso é uma maquininha.