EFOMM 2019 - Quantidade de Movimento

Duas pessoas - A e B - de massas ma e mb, estão sobre uma jangada de massa M, em um lago. Inicialmente, todos esse três elementos (jangada e pessoas) estão em repouso em relação à água. Suponha um plano coordenado XY paralelo à superfície do lago e considere que, em determinado momento, A e B passam a se deslocar com velocidades (em relação à água) de módulos Va e Vb, nas direções, respectivamente, dos eixos perpendiculares x e y daquele plano coordenado. A velocidade relativa entre a pessoa A e a jangada tem módulo:


GABARITO: (B)

Para facilitar os cálculos, monte o plano XY com a A e B saindo da origem, alocada no meio da jangada.
O exercício pede para calcular a velocidade relativa entre a pessoa A e a jangada, que é justamente a diferença vetorial de Va e Vj (velocidade da jangada) em relação à água:

Velocidade relativa                            Velocidade relativa de A                         Velocidade relativa da água 
entre a pessoa A e a            =                em relação à                     +                     em relação à
     jangada                                              água                                                      jangada

Essa última parcela é o mesmo que o negativo da velocidade da jangada em relação à água.

O centro de massa do sistema, como definimos ser na origem, deve ser o mesmo sempre. O centro de massa entre a pessoa A e B é:

Em \ x: \frac{ma(va.t)+mb(0)}{ma+mb}=\frac{ma(va.t)}{ma+mb}

Em \ y: \frac{ma(0)+mb(vb.t)}{ma+mb}=\frac{mb(vb.t)}{ma+mb}

O centro de massa da jangada (x,y) deverá "conduzir" o centro de massa de A e B até a origem:

Em \ x: \frac{Mx+(ma+mb)\frac{ma(va.t)}{ma+mb}}{M+ma+mb}=0

x = \frac{-ma(va.t)}{M}

Em \ y: \frac{My+(ma+mb)\frac{mb(vb.t)}{ma+mb}}{M+ma+mb}=0

y = \frac{-mb(vb.t)}{M}

Para obter as componentes de Vj nos dois eixos, basta dividir os valores de x e y acima por t, pois é essa a distância que o centro de massa da jangada percorre em um tempo t.
Como nosso objetivo é obter a diferença vetorial entre Va e Vj = Va - Vj, basta multiplicar por -1 os valores obtidos e somar vetorialmente com Va, pois Va - Vj = Va + (-Vj)

A componente de Va no eixo x é o próprio Va
A componente de -Vj no eixo x é ma.va/M

A componente do vetor resultante no eixo x será:

Vx = va+\frac{ma.va}{M}=va (\frac{M+ma}{M})

A componente de Va no eixo y é nula
A componente de -Vj no eixo y é mb.vb/M

A componente do vetor resultante no eixo y será:

Vy = 0+\frac{mb.vb}{M}=\frac{mb.vb}{M}

Logo, o módulo do vetor resultante será:

V=\sqrt{Vx^2+Vy^2}

V=\sqrt{va^2 (\frac{M+ma}{M})^2+\frac{(mb.vb)^2}{M^2}}

V=\frac{1}{M}\sqrt{va^2 (M+ma)^2+(mb.vb)^2}

Muito obrigado!!