Funções

por luccarhaddad Qui 08 Nov 2018, 19:26

Uma função ƒ está definida para todos os inteiros positivos e satisfaz ƒ(1)=2006 e ƒ(1)+ƒ(2)+ƒ(3)+...+ƒ(n)= n².ƒ(n) para todo inteiro n> 1. O valor de ƒ(2006) é:

a) 1

b) $Funções Gif$

c) $Funções Gif$

d) $Funções Gif$

e) $Funções Gif$

por **Mateus Meireles** Qui 08 Nov 2018, 21:09

Não tem muito segredo,

Escreva os casos iniciais:

f(1) = 2006

f(1) + f(2) = 4f(2) \rightarrow f(2) = \frac{2006}{3}

f(1) + f(2) +f(3)= 9f(3) \rightarrow f(3) = \frac{2006}{6}

f(1) + f(2) +f(3) + f(4)= 16f(4) \rightarrow f(4) = \frac{2006}{10}

f(1) + f(2) +f(3) + f(4) + f(5)= 25f(5) \rightarrow f(5) = \frac{2006}{15}

O observe que a diferença entre os inversos dos denominadores das frações formam uma PA!

a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2

a_3 - a_2 = 6 - 3 = 3

a_4 - a_3 = 10 - 6 = 4

a_5 - a_4 = 15 - 10 = 5
..
a_n - a_{n-1} = n

Veja que quando fazemos a soma telescópica conseguimos determinar o denominador de qualquer termo

Daí,

a_{2006} = 2013021

Fazendo n = 2006 na equação inicial:

2006 + \frac{2006}{3} + \frac{2006}{6} + \ ... \ + \frac{2006}{2013021} = 2006^2f(2006)

2006(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \ ... \ + \frac{1}{2013021}) = 2006^2f(2006)

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \ ... \ + \frac{1}{2013021} = 2006f(2006)

2\Big(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\Big) + 2\Big(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\Big) + 2\Big(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\Big) + \ ... \ + 2\Big(\frac{1}{2006} - \frac{1}{2007}\Big) = 2006f(2006)

2006f(2006) = \frac{4012}{2007}

f(2006) = \frac{2}{2007}

por dd0123 Qui 08 Nov 2018, 21:15

boa janta

por **Mateus Meireles** Qui 08 Nov 2018, 21:23

Encontrei o erro no desenvolvimento e fiz a edição, qualquer você grita

Abraço.

por **fantecele** Qui 08 Nov 2018, 21:40

Observação: uma coisinha que você poderia ter feito ali era ver que os f(n)'s estavam da forma f(n) = 2006/an, como você tinha encontrado a2006 = 2013021 então f(2006) = 2006/2013021 = 2/2007, você acabou usando esse resultado na hora que substituiu n por 2006 na equação lá e chegando em algo já calculado.

por **Mateus Meireles** Qui 08 Nov 2018, 22:31

Isso, dava para fazer isso

Como eu tinha errado o desenvolvimento antes, não prestei atenção que eu estava usando já o f(2006) ali na soma, inclusive deve haver alguma forma menos poluída de desenvolver o problema, mas fiquei com preguiça de pensar

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