Fatorial

Boa tarde, alguém poderia me ajudar na questão que se segue:

 O valor da expressão 1 ⋅ 1! + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3! +............ + m.m! é igual a: 
 
A) (m + 1)!            B) (m + 1)! -1
 C) (2m)! – m!         D) (m – 1)! 
 E) m! + 1  

Eu fiz seguindo este raciocínio: expandi a soma da seguinte forma : m.m!= [(m+1)-1].m! --> (m+1).m!-m!
Fiz isso para todos os termos e ficou da seguinte forma:

2.1!-1!+3.2!-2!+4.3!-3!+...+(m+1)m!-m!

Feito isso eu separei entre os que se somam e os que estão se subtraindo para poder cancelá-los; ficando mais ou menos assim:

(2!+3.2!+4.3!+...+(m+1)m!) - (1!+2!+3!+...+m!)

Cancelando a partir do 2!, que está no primeiro parentese, com os fatoriais respectivos que estão no segundo parentese, só que eu vou cancelando mas travo na hora de cancelar com os últimos termos, não vai, não sei se é realmente assim que faz, mas não estou conseguindo desenvolver direito.

PS: Não possuo gabarito

Como é uma questão de múltipla escolha, vamos fazer, por exemplo m = 3

S = 1.1! + 2.2! + 3.3! ---> S = 1 + 4 + 18 ---> S = 23 ---> S = 4! - 1 ---> S = (m + 1)! - 1 ---> B

Olá,

Outra solução:

(m+1)!=(m+1)m!=m\cdot m!+m!

isto é,

m\cdot m!=(m+1)!-m!

Daí,

S=(2!-1!) \ +\ (3!-2!)\ +\ ...\ + \ \Big((m+1)!-m! \Big)
S=(\cancel{2!}-1!) \ +\ (\cancel{3!} \cancel{- 2!})\ +\ (\cancel{4!} \cancel{- 3!}) + \ \cancel{..}.\cancel{..}\ +\ (m+1)! \ \cancel{- \ m!}
S= (m+1)! - 1  

Abraço.