calculo 3 teorema de green

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calculo 3 teorema de green

Mensagem por djalma_esa em Seg 22 Out 2018, 17:45


Calcule integral y de P dx + Qdy, onde γ e o quadrado |x| ≤ a, |y| ≤ a, P(x, y) = xe^−y^2 , Q(x, y) = −x^2 ye^−y^2 + 1/ x^2+y^ 2 . 

me ajudem pessoal !

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Re: calculo 3 teorema de green

Mensagem por Giovana Martins em Seg 22 Out 2018, 20:20

Tens o gabarito?

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Re: calculo 3 teorema de green

Mensagem por djalma_esa em Qua 24 Out 2018, 20:30

gabarito = 0

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Re: calculo 3 teorema de green

Mensagem por Giovana Martins em Qua 24 Out 2018, 22:44

Se você já está estudando esse conteúdo, imagino que você domine bem o cálculo de integrais, sendo assim, deixo os cálculos intermediários por sua conta. De qualquer forma, não hesite em perguntar caso você tenha alguma dúvida quanto as contas.


\\\mathrm{Teo.\ de\ Green:\ }\underset{\gamma }{\oint }\vec{F}.d\vec{r}=\underset{\ \ \partial D}{\int} \int \left ( \frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right )dxdy\\\\\underset{\gamma }{\oint }\vec{F}.d\vec{r}=\underset{C_1 }{\int }\vec{F}.d\vec{r}+\underset{C_2 }{\int }\vec{F}.d\vec{r}+\underset{C_3 }{\int }\vec{F}.d\vec{r}+\underset{C_4 }{\int }\vec{F}.d\vec{r}\\\\C_1:\ x=a,-a\leq y\leq a,dx=0

\\\underset{C_1 }{\int }\vec{F}.d\vec{r}=\underset{C_1}{\int }Pdx+Qdy=\underset{C_1}{\int} \left (-x^2ye^{-y^2}+\frac{1}{x^2+y^2}  \right )dy\\\\\underset{C_1 }{\int }\vec{F}.d\vec{r}=\int_{-a}^{a}\left (-a^2ye^{-y^2}+\frac{1}{a^2+y^2} \right )dy=\frac{\pi }{2a}\\\\C_3:\ x=-a,-a\leq y\leq a,dx=0\\\\\underset{C_3 }{\int }\vec{F}.d\vec{r}=\int_{a}^{-a}\left (-a^2ye^{-y^2}+\frac{1}{a^2+y^2} \right )dy=-\frac{\pi }{2a}\\\\C_2:\ y=a,-a\leq x\leq a,dy=0\\\\\underset{C_2 }{\int }\vec{F}.d\vec{r}=\underset{C_2}{\int }Pdx+Qdy=\underset{C_2}{\int }\left (xe^{-y^2} \right )dx\\\\\underset{C_2}{\int} \vec{F}.d\vec{r}=\int_{a}^{-a}xe^{-a^2}dx=0=\underset{C_4}{\int }\vec{F}.d\vec{r}\\\\\underset{\gamma }{\oint }\vec{F}.d\vec{r}=\frac{\pi }{2a}+0-\frac{\pi }{2a}+0\ \therefore \ \boxed {\underset{\gamma }{\oint }\vec{F}.d\vec{r}=0}

Nota: sempre poste o gabarito caso você o tenha. Isso ajuda quem está tentando te ajudar. Confira os cálculos, pois eu não os conferi.

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