Números Complexos

w=2[cos(pi/6)+i.sen(pi/6)] é uma das raízes cúbicas do complexo z. As demais raízes são:

a) -2i, - ²√3 +i
b) 3i, 5i
c) 2i, 8i+6
d) ²√3 +7i, 5i

RESPOSTA:

Resolução gráfica:

w = 2.[cos(pi/6) + i.sen(pi/6)] ---> w = √3 + i

Os vetores distam 120º um do outro (360º/3 = 120º)

Boa tarde! Resolução Algébrica:
\sqrt[3]{z}=w\Leftrightarrow w^{3}=z=(\sqrt{3}+i)^{2}.(\sqrt{3}+i)=8i 
Então z na sua forma trigonométrica é  z=8.(\cos\frac{\pi}{2}+i sen\frac{\pi}{2})  e pela segundo lei de Moivre as raízes cúbicas de z são: 
z_k=\sqrt[3]{8}.[\cos\left(\frac{\pi}{2.3}+\frac{2k\pi}{3}\right)+isen\left(\frac{\pi}{2.3}+\frac{2k\pi}{3}\right)], com k indo de 0 até 2 (3-1). Assim:
 Z_0=2.(cos\frac{\pi}{6}+isen\frac{\pi}{6})\\
Z_1=2.(cos\frac{5\pi}{6}+isen\frac{5\pi}{6})\\
Z_2=2.(cos\frac{3\pi}{2}+isen\frac{3\pi}{2}) 
E usando um pouco de trigo (Não arrepia não haha), vemos que:
cos\frac{5\pi}{6}=-cos\left(\pi-\frac{5\pi}{6}\right)=-\cos\frac{\pi}{6}\\
sen\frac{5\pi}{6}=sen\left(\pi-\frac{5\pi}{6}\right)=sen\frac{\pi}{6}

Elcioschin, como vc chegou nesse gráfico? É só saber que os ângulos são iguais que consigo descobrir os resultados?



Matheus, por |z| ser elevado ao cubo eu tenho que somar os ângulos três vezes e por isso uso o k? Por que começar no 0? 
O 8 ficou na raiz cúbica por causa do z^1/3?

Que tenso, to ralando aqui e ainda não consigo entender direito.

O que ta me deixando com bastante dúvida é esse k

Leia Números Complexos - Forma Trigonométrica - Potenciação e Radiciação

Conclusão final:

1) Todo número complexo z, diferente de zero tem exatamente n raízes n-ésimas.

2) As imagens das n raízes de um número complexo z são os vértices de um polígono regular de n lados, inscrito em uma circunferência de centro na origem e raio igual à raiz n-ésima do módulo de z.

Na presente questão, como a raiz dada é cúbica n = 3. O polígono é um triângulo equilátero cujos vértices são as "pontas" dos afixos da cada raiz. Além disso o ângulo entre cada dois afixos vale 360º/3 = 120º
Como o afixo da 1ª raiz faz 30º com o eixo real, o da 2ª faz 30º + 120º = 150º e o da 3ª faz 150º + 120º = 270º

O k da fórmula é um número natural que varia de 0 a n-1 onde n é o número de raízes (nesta questão n = 3)

Entendi, esclareceu bastante!!
Muito obrigado!!