Soma dos termos da sequência

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Soma dos termos da sequência

Mensagem por marcelindo3301 em Ter 11 Set 2018, 21:57

Obtenha a soma dos infinitos termos da sequência: (1, 2/3, 3/9, 4/27, ...)
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Re: Soma dos termos da sequência

Mensagem por evandronunes em Sex 14 Set 2018, 14:34

Veja que:

\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}

\frac{3}{9}=\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}

\frac{4}{27}=\frac{1}{27}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}

\frac{5}{81}=\frac{1}{81}+\frac{1}{81}+\frac{1}{81}+\frac{1}{81}+\frac{1}{81}

Assim a soma S=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{9}+\frac{4}{27}+\frac{5}{81}+..., pode ser reorganizada da seguinte forma:

S=\left (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+...\right )+\left (\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+...\right )+\left (\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+...\right )+...


Observe que em cada parênteses temos uma soma infinita de termos de razão \frac{1}{3}. Usando a fórmula da soma de uma PG infinita em cada parênteses, temos:

S=\frac{1}{1- \frac{1}{3}}+\frac{\frac{1}{3}}{1- \frac{1}{3}}+\frac{\frac{1}{9}}{1- \frac{1}{3}}+...

Logo:

S=\frac{3}{2}+\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}+\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2}+...

S=\frac{3}{2} \cdot \left ( 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9} +... \right )

S=\frac{3}{2} \cdot \left ( \frac{1}{1- \frac{1}{3}} \right )

S=\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}

S=\frac{9}{4}

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Re: Soma dos termos da sequência

Mensagem por marcelindo3301 em Sex 14 Set 2018, 16:50

Valeu
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Re: Soma dos termos da sequência

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