equação e solução (combinatória)

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Resolvido equação e solução (combinatória)

Mensagem por JohnnyC em Dom 09 Set 2018, 22:02

Dados as seguintes equações, calcule as soluções naturais distintas:

a) x + y = 7

b) x + y + z = 7

R: 

a) 8 
b) 36

Pessoal, acredito que seja uma questão bem tranquila. A questão é que nunca resolvi nada parecido dentro de combinatória (pra mim até parecia coisa de sistemas lineares), então não sei como resolve. Alguém poderia ajudar ?
Obrigado.


Última edição por JohnnyC em Dom 09 Set 2018, 22:56, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: equação e solução (combinatória)

Mensagem por paulinoStarkiller em Dom 09 Set 2018, 22:27

Esse é um típico caso de combinação com repetição. Ela ocorre quando temos duas ou mais incógnitas e a soma dessas é um valor constante, ou seja, o valor das incógnitas varia.

Sempre que você tiver esse tipo de combinação, você estará permutando o resultado dos termos e separando-os em partes, veja:

Para o primeiro problema em que x + y = 7

---- + ---    --> temos esse caso se o x for igual a 4 e o y for igual a 3
-- + -----    --> esse caso também é possível e ocorre quando o x for 2 e o y for 5

Agora generalizemos: Sabendo que temos uma permutação com 8 termos e que permutar sete deles entre si não altera o resultado, podemos escrever que se trata de uma permutação com repetição de sete termos, logo: 8!/7! = 8. Temos então oito valores possíveis.


Agora vamos para o segundo problema: x + y + z = 7

Perceba que será uma permutação com 9 elementos e com repetição de 7 valores além de dois sinais de mais, logo

Tc = 9!/2!7! = 36.
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Resolvido Re: equação e solução (combinatória)

Mensagem por JohnnyC em Dom 09 Set 2018, 22:55

Muito obrigado pela ajuda, paulinoStarkiller!
realmente, nunca vi nada do tipo dentro de combinatória. Confesso que não entendi muito bem como se resolve: por que, na letra a), temos 8 termos  e na b) temos 9 elementos com 2 e 7 repetições ?
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Resolvido Re: equação e solução (combinatória)

Mensagem por paulinoStarkiller em Seg 10 Set 2018, 00:59

Sei que minha resolução ficou um pouco curta pra esse assunto que é um pouco confuso, mas perceba o seguinte:

 Temos a seguinte equação x + y = 7 
veja que qualquer que seja o valor de x ou de y a soma dos dois sempre será 7. Portanto, sabendo que sete é 7 x 1, chamemos cada tracinho de "um":

 x  +   y = 7
Exemplo:
 3  +   4 = 7
--- + ----= 7  Veja que temos várias maneiras de organizar o sinal de mais e os tracinhos entre o x e o y de modo a manter a igualdade. Entretanto, é bom lembrar que permutar um tracinho com o outro não gera uma nova possibilidade, pois o valor do x e do y permanece o mesmo. Portanto o total de possibilidades será a permutação de todos os termos(tracinhos e sinais de mais) dividido pela permutação dos tracinhos entre si e dos sinais de mais entre si(repetição), pois eles não geram uma nova possibilidade.

Espero que agora tenha ficado mais claro Smile
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Resolvido Re: equação e solução (combinatória)

Mensagem por JohnnyC em Seg 10 Set 2018, 07:08

Ficou excelente! Muito obrigado pela ajuda.
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Resolvido Re: equação e solução (combinatória)

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