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Resolvido Radiciação

Mensagem por Giovana Martins em Qua 25 Jul 2018, 18:27

Determine as soluções reais da equação \sqrt[4]{13+x}+\sqrt[4]{4-x}=3.

Eu peguei esse exercício para fazer e o desenvolvi a partir de Somas de Newton. Tem algum jeito de fazer esta questão usando algum conceito sobre radiciação ou algum outro método que não seja por Somas de Newton.

Resolução por Somas de Newton:

Spoiler:
\\u=\sqrt[4]{13+x}\to 13+x=u^4\\\\t=\sqrt[4]{4-x}\rightarrow 4-x=t^4\\\\\sigma _1=u+t=3\ (0),\ \sigma _2=ut\ (1)\ e\  S_4=17\\\\S_0=u^0+t^0=2,\ S_1=u^1+t^1=\sigma _1=3\\\\S_2=\sigma _1S_1-\sigma _2S_0=9-2\sigma _2\\\\S_3=\sigma _1S_2-\sigma _2S_1=27-9\sigma _2\\\\S_4=\sigma _1S_3-\sigma _2S_2=81-36\sigma _2+2\sigma _2^2=17\ (2)\\\\De\ (2):\ \sigma _2=2\ \vee \ \sigma _2=16\\\\De\ (0)\ e\ (1)\ para\ \sigma _2=16:\ t,u \notin\ \mathbb{R}\\\\De\ (0)\ e\ (1)\ para\ \sigma _2=2:\ \left\{\begin{matrix}
(t,u)=(1,2)\\
(t,u)=(2,1)
\end{matrix}\right.\\\\t=1\rightarrow \boxed {x=3}\ e\ t=2\rightarrow \boxed {x=-12}


Última edição por Giovana Martins em Qui 26 Jul 2018, 12:19, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Radiciação

Mensagem por justanightmare em Qua 25 Jul 2018, 18:46

\sqrt[4]{13+x}+\sqrt[4]{4-x}=3\\\\(13+x)^{\frac{1}{4}}+(4-x)^{\frac{1}{4}}=3\\\\u=(13+x)^{\frac{1}{4}}\;\;\therefore\;\; x=u^{4}-13\\\\u+[4-(u^{4}-13)]^{\frac{1}{4}}=3\\3-u=[4-(u^{4}-13)]^\frac{1}{4}\\(3-u)^{4}=4-(u^{4}-13)\\(3-u)^{4}=-u^{4}+17\\\\(3-u)^{4}=\sum _{i=0}^4\binom{4}{i}\cdot \:3^{\left(4-i\right)}\left(-u\right)^i\\\\(3-u)^{4}=u^{4}-12u^{3}+54u^{2}-108u+81\\\\u^{4}-12u^{3}+54u^{2}-108u+81=-u^{4}+17\\2u^{4} -12u^{3}+54u^{2}-108u+64=0

Ai é fatorar e achar raízes, desse jeito fica muito trabalhoso.
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Resolvido Re: Radiciação

Mensagem por Giovana Martins em Qua 25 Jul 2018, 18:58

Oi, just. Muito obrigada pela resolução. É, da bastante trabalho desse jeito. Há algumas questões como essa que saem a partir de produtos notáveis que foi a forma como eu tentei resolver inicialmente.

Algo semelhante a isso: https://pir2.forumeiros.com/t150794-raiz-cubica
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Resolvido Re: Radiciação

Mensagem por justanightmare em Qua 25 Jul 2018, 19:04

"Há algumas questões como essa que saem a partir de produtos notáveis que foi a forma como eu tentei resolver inicialmente" 


Realmente. Eu, por exemplo, não gosto de procurar raízes em polinômios do 3º grau mesmo conhecendo os métodos, etc., sempre tento arrumar um jeito de fatorar em um polinômio 2º grau  Very Happy Very Happy
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Resolvido Re: Radiciação

Mensagem por Matemathiago em Qui 26 Jul 2018, 04:07

Oi Giovana!

Apenas copiando o raciocínio que vc teve nesse tópico: https://pir2.forumeiros.com/t150794-raiz-cubica

Seja a primeira parcela igual a "a" e a segunda parcela igual a "b":

a^4 + b^4 = 17 = 81 - 4ab(a² + b²) - 6a²b²

Mas: a² + b² = 9 - 2ab

Assim:
32 = 2ab(9-2ab) + 3a²b²
32 = 18ab - a²b²
a²b² - 18ab + 32 = 0
ab=16 ou ab=2

Para ab=16 só há soluções complexas, que não convêm.

Se ab = 2:

16 = -x² - 9x +52
x² + 9x - 36 = 0
x = 3 ou x=-12
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Resolvido Re: Radiciação

Mensagem por Elcioschin em Qui 26 Jul 2018, 11:28

Um modo rápido, sem muita álgebra

Ambos os termos são positivos (raiz 4ª). Uma análise para raízes inteiras:

1) Um dos termos vale 0 e o outro vale 3 ---> isto implica x = - 13 ou x = 4 ---> nenhum deles convém.

2) Um dos termos vale 1 e o outro vale 2:

2.1) √(13 + x) = 1 ---> x = -12 ---> √[4 - (-12)] = 2

2.2) √(13 + x) = 2 ---> x = 3 ---> √(4 - 3) = 1

Soluções: x = -12 e x = 3
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Resolvido Re: Radiciação

Mensagem por Matemathiago em Qui 26 Jul 2018, 11:58

@Elcioschin escreveu:Um modo rápido, sem muita álgebra

Ambos os termos são positivos (raiz 4ª). Uma análise para raízes inteiras:

1) Um dos termos vale 0 e o outro vale 3 ---> isto implica x = - 13 ou x = 4 ---> nenhum deles convém.

2) Um dos termos vale 1 e o outro vale 2:

2.1) √(13 + x) = 1 ---> x = -12 ---> √[4 - (-12)] = 2

2.2) √(13 + x) = 2 ---> x = 3 ---> √(4 - 3) = 1

Soluções: x = -12 e x = 3

Isso mesmo!
O único problema é que a resolução não prova que as raízes encontradas são únicas no conjunto dos reais, uma vez que as raízes quartas poderiam resultar também em números racionais não inteiros, ao invés de somente números inteiros.
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Resolvido Re: Radiciação

Mensagem por Elcioschin em Qui 26 Jul 2018, 12:17

Com certeza!
Este método simplificado apenas "quebra o galho", principalmente quando a questão tem alternativas e o tempo é importante!
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